Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 2 kg , preso a uma mola de constante 8 N / m, que foi colocado em movimento com deslocamento inicial de 0,5 m para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Supondo que a massa sofre a ação de uma força externa de 4 cos t N, determine a posição do corpo em t=2 s.
(a) determine a posição do corpo em um instante t.

Passo 1

Estamos com um sistema massa-mola não amortecido, massa m=2,kg, constante elástica k=8,N/m, deslocamento inicial de 0,5, m para baixo (sem velocidade inicial) e força externa F(t)=4cos t, N. O que precisamos é montar e resolver a equação diferencial de movimento para achar a posição x(t).

Passo 2

A equação de movimento de um sistema massa-mola com força externa F(t) é
m,x''+k,x=F(t)
Substituindo m=2 e k=8 temos
2x''+8x=4cos t
Dividindo por 2:
x''+4x=2cos t
Aqui o termo 4=omega0^2 dá a frequência natural omega0=2.

Passo 3

Resolvendo a equação homogênea x''+4x=0, a solução geral é
xc(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)

Passo 4

Para a solução particular de x''+4x=2cos t usamos o palpite
xp(t)=Acos t+Bsin t
Derivando:
xp''=-Acos t -Bsin t
Substituindo em x''+4x=2cos t:
(-A+4A)cos t+(-B+4B)sin t=2cos t
Ou seja 3A=2 e 3B=0, então A=2/3, B=0. Logo
xp(t)=tfrac23cos t

Passo 5

A solução completa é
x(t)=C1cos(2t)+C2sin(2t)+tfrac23cos t
Impondo condições iniciais: x(0)=0,5 e x'(0)=0. Em t=0:
x(0)=C1+tfrac23=0,5implies C1=0,5-tfrac23=-tfrac16
Derivando e avaliando em zero:
x'(t)=-2C1sin(2t)+2C2cos(2t)-tfrac23sin t x'(0)=2C2=0implies C2=0

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a posição para todo instante t:
x(t)=-tfrac16cos(2t)+tfrac23cos t

Resposta

x(t)=-tfrac16cos(2t)+tfrac23cos t

Exercícios relacionados