Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5.
\int\left(x^{2}+7 x-5\right) \cos 2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(x^{2}+7x-5\bigr)\cos2x\,dx
O conteúdo principal aqui é a integração por partes, aplicada de forma repetida, pois temos um polinômio em x multiplicando uma função trigonométrica. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
e escolher inteligentemente u e dv para reduzir o grau do polinômio.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2}+7x-5,\quad dv = \cos2x\,dx.
Então
du = (2x+7)\,dx, \quad v = \int \cos2x\,dx = \tfrac12\sin2x.
Pela fórmula de partes,
\int (x^{2}+7x-5)\cos2x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac12(x^{2}+7x-5)\sin2x \;-\;\frac12\int (2x+7)\sin2x\,dx.

Passo 3

Agora focamos em
\int (2x+7)\sin2x\,dx =\int 2x\,\sin2x\,dx \;+\;7\int \sin2x\,dx.
Vamos calcular separadamente cada termo.

Passo 4

Para \displaystyle \int 2x\,\sin2x\,dx, aplicamos partes de novo com
u_{1}=2x,\quad dv_{1}=\sin2x\,dx \;\Longrightarrow\; du_{1}=2\,dx,\; v_{1}=-\tfrac12\cos2x.
Logo
\int 2x\,\sin2x\,dx = u_{1}v_{1} - \int v_{1}du_{1} = -x\cos2x - \int\bigl(-\tfrac12\cos2x\bigr)\,2\,dx = -x\cos2x + \int\cos2x\,dx = -x\cos2x + \tfrac12\sin2x.
E para \displaystyle 7\int \sin2x\,dx temos
7\int \sin2x\,dx =7\cdot\bigl(-\tfrac12\cos2x\bigr) =-\tfrac72\cos2x.
Somando,
\int (2x+7)\sin2x\,dx = \bigl(-x\cos2x + \tfrac12\sin2x\bigr) \;-\;\tfrac72\cos2x = -\bigl(x+\tfrac72\bigr)\cos2x + \tfrac12\sin2x.

Passo 5

Substituindo de volta em
\displaystyle \frac12(x^{2}+7x-5)\sin2x - \tfrac12\int(2x+7)\sin2x\,dx, obtemos:
\frac12(x^{2}+7x-5)\sin2x -\frac12\Bigl[-\bigl(x+\tfrac72\bigr)\cos2x + \tfrac12\sin2x\Bigr]
= \frac12(x^{2}+7x-5)\sin2x +\frac12\bigl(x+\tfrac72\bigr)\cos2x -\frac14\sin2x + C.
Agrupando termos em \sin2x e \cos2x:
\int (x^{2}+7x-5)\cos2x\,dx =\Bigl[\tfrac12x^{2}+\tfrac72x-\tfrac{11}{4}\Bigr]\sin2x \;+\;\Bigl[\tfrac12x+\tfrac74\Bigr]\cos2x \;+\;C.

Resposta

\int (x^{2}+7x-5)\cos2x\,dx = \Bigl(\tfrac12x^{2}+\tfrac72x-\tfrac{11}{4}\Bigr)\sin2x + \Bigl(\tfrac12x+\tfrac74\Bigr)\cos2x + C.

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