Calcule as seguintes integrais de superficie:
\iint_{S}\left(z \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d s onde S é a superfície obtida girando-se o circulo
(x-a)^{2}+z^{2}=r^{2}
0<r<a, em torno do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\bigl(z\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,ds
onde S é o toro obtido girando o círculo
(x - a)^{2} + z^{2} = r^{2},\quad0<r<a,
ao redor do eixo z. O conteúdo é parametrização de superfície e cálculo de integral dupla sobre ela.

Passo 2

Parametrizamos o toro usando dois ângulos u,v\in[0,2\pi]. No plano xz, o círculo é
x = a + r\cos u,\quad z = r\sin u.
Ao girar em torno de z, introduzimos o ângulo v em \sqrt{x^{2}+y^{2}}=a+r\cos u. Assim
X(u,v)=\bigl((a+r\cos u)\cos v,\,(a+r\cos u)\sin v,\;r\sin u\bigr).

Passo 3

Calculamos o elemento de área ds. As derivadas são
X_{u} = \bigl(-r\sin u\cos v,\,-r\sin u\sin v,\;r\cos u\bigr),\quad X_{v} = \bigl(-(a+r\cos u)\sin v,\,(a+r\cos u)\cos v,\;0\bigr).
O produto vetorial tem norma
\|X_{u}\times X_{v}\| = r\,(a + r\cos u),
logo
ds = r\,(a + r\cos u)\,du\,dv.

Passo 4

Expressamos a função integranda em (u,v). Temos
z = r\sin u, \quad \sqrt{x^{2}+y^{2}} = a + r\cos u,
então
z\,\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r\sin u\,(a+r\cos u).
A integral torna-se
\iint_{S}z\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,ds = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2\pi} \bigl[r\sin u\,(a+r\cos u)\bigr]\, \bigl[r\,(a+r\cos u)\bigr]\,du\,dv.
Isso é
= r^{2}\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2\pi} \sin u\,(a+r\cos u)^{2}\,du\,dv.
Integramos primeiro em v, obtendo fator 2\pi, e em seguida notamos que \sin u\,(a+r\cos u)^{2} é função ímpar em u em torno de \pi, logo
\int_{0}^{2\pi}\sin u\,(a+r\cos u)^{2}du = 0.

Resposta

O valor da integral é 0.

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