Calcule as seguintes integrais de superficie:
onde
é a superfície obtida girando-se o circulo
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é o toro obtido girando o círculo
ao redor do eixo
. O conteúdo é parametrização de superfície e cálculo de integral dupla sobre ela.
Passo 2
Parametrizamos o toro usando dois ângulos
. No plano
, o círculo é
Ao girar em torno de
, introduzimos o ângulo
em
. Assim
Passo 3
Calculamos o elemento de área
. As derivadas são
O produto vetorial tem norma
logo
Passo 4
Expressamos a função integranda em
. Temos
então
A integral torna-se
Isso é
Integramos primeiro em
, obtendo fator
, e em seguida notamos que
é função ímpar em
em torno de
, logo
Resposta
O valor da integral é