Sejam a, b, c \in(0, \infty).
(a) Encontre uma parametrização regular para a superfície
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\right.\right\}
(b) Existem Constantes a, b e c de modo que S seja uma superficie de revolução?

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
S=\Bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\Bigr\},
que é um hiperbolóide de uma folha.
Precisamos (a) encontrar uma parametrização regular e (b) decidir se há escolha de a,b,c que torne S uma superfície de revolução.

Passo 2

Para parametrizar vamos usar as funções hiperbólicas, pois vale a identidade
\operatorname{cosh}^2u-\operatorname{sinh}^2u=1.
Definimos
X(u,v)=\bigl(a\operatorname{cosh} u\cos v,\;b\operatorname{cosh} u\sin v,\;c\operatorname{sinh} u\bigr),
com u\in\mathbb{R} e v\in[0,2\pi). Então
\frac{(a\operatorname{cosh} u\cos v)^2}{a^2}+\frac{(b\operatorname{cosh} u\sin v)^2}{b^2} -\frac{(c\operatorname{sinh} u)^2}{c^2} =\operatorname{cosh}^2u(\cos^2v+\sin^2v)-\operatorname{sinh}^2u =1,
logo X(u,v) toma valores em S.

Passo 3

Para ver que X é regular, note que
X_u=(a\operatorname{sinh} u\cos v,\;b\operatorname{sinh} u\sin v,\;c\operatorname{cosh} u), \quad X_v=(-a\operatorname{cosh} u\sin v,\;b\operatorname{cosh} u\cos v,\;0).
O produto vetorial X_u\times X_v não se anula para nenhum (u,v), pois seus componentes envolvem termos \operatorname{cosh} u e \operatorname{sinh} u que não podem anular simultaneamente. Assim X é localmente imersiva e, como cobre todo S, é parametrização regular.

Passo 4

Uma superfície de revolução em torno do eixo z exige que a equação seja invariante por rotações no plano xy. Isso só ocorre se os coeficientes de x^2 e de y^2 forem iguais, i.e.\ se
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2+y^2}{a^2} \quad\Longleftrightarrow\quad a=b.
Não há outra escolha de eixo que iguale sinais e valores dos coeficientes, então a única possibilidade de revolução é em torno de z e com a=b.

Resposta

(a) Uma parametrização regular é
X(u,v)=\bigl(a\operatorname{cosh} u\cos v,\;b\operatorname{cosh} u\sin v,\;c\operatorname{sinh} u\bigr), \quad u\in\mathbb{R},\;v\in[0,2\pi).
(b) S é superfície de revolução (em torno do eixo z) exatamente quando a=b.

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