Calcule as seguintes integrais de superficies:
integral duplaS^S(x++y+z) d S; S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 <= u <= 2,0 <= v <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral dupla integral duplaS (x + y + z) , dS, onde S é um paralelogramo definido por equações paramétricas:
x = u + v y = u - v z = 1 + 2u + v
com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 1. Para resolver isso, vamos precisar entender un pouco sobre parametrizações de superfícies e como calcular integrais de superfície usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de superfície parametrizada por duas variáveis ( u e v), usamos a fórmula:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(r(u, v)) | ru times rv | , du , dv
Aqui, r(u, v) é a parametrização da superfície, ru e rv são as derivadas parciais em relação a u e v, e times representa o produto vetorial. O termo | ru times rv | é o módulo do produto vetorial, que nos dá a área de um elemento infinitesimal da superfície.

Passo 3

Vamos identificar a parametrização da superfície S:
r(u, v) = lang<= x, y, z rang<= = lang<= u + v, , u - v, , 1 + 2u + v rang<=
Agora, vamos calcular as derivadas parciais ru e rv:
ru = partial rpartial u = lang<= 1, , 1, , 2 rang<=
rv = partial rpartial v = lang<= 1, , -1, , 1 rang<=

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv:
ru times rv = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1)
= i(1 + 2) - j(1 - 2) + k(-1 - 1)
= 3i + j - 2k
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
| ru times rv | = raiz3^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14

Passo 5

Com isso, temos tudo o que precisamos para montar a integral de superfície. Vamos substituir na fórmula:
integral duplaS (x + y + z) , dS = integral duplaD (x(u, v) + y(u, v) + z(u, v)) cdot raiz14 , du , dv
Primeiro, vamos calcular x + y + z usando as parametrizações:
x + y + z = (u + v) + (u - v) + (1 + 2u + v) = u + v + u - v + 1 + 2u + v = 4u + v + 1
Então, a integral fica:
integral duplaD (4u + v + 1) cdot raiz14 , du , dv

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a u e v dentro dos limites dados: 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 1.
Primeiro, tiramos o raiz14 de fora da integral:
raiz14 integral duplaD (4u + v + 1) , du , dv
Vamos integrar primeiro em relação a u:
integral0^2 (4u + v + 1) , du = [ 2u^2 + vu + u ]0^2 = (2 cdot 4 + v cdot 2 + 2) - (0 + 0 + 0) = 8 + 2v + 2 = 10 + 2v
Agora, integramos esse resultado em relação a v:
integral0^1 (10 + 2v) , dv = [ 10v + v^2 ]0^1 = (10 cdot 1 + 1^2) - (0 + 0) = 10 + 1 = 11

Resposta

Multiplicando pelo raiz14 que tínhamos tirado antes:
integral duplaS (x + y + z) , dS = raiz14 cdot 11 = 11raiz14
Então, o valor da integral de superfície é 11raiz14.

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