Calcule as seguintes integrais de superficies: ; S é o paralelogramo com equações paramétricas , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral dupla , onde é um paralelogramo definido por equações paramétricas:
com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 1. Para resolver isso, vamos precisar entender un pouco sobre parametrizações de superfícies e como calcular integrais de superfície usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de superfície parametrizada por duas variáveis (u e v), usamos a fórmula:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(r(u, v)) | ru times rv | , du , dv
Aqui, r(u, v) é a parametrização da superfície, ru e rv são as derivadas parciais em relação a u e v, e times representa o produto vetorial. O termo | ru times rv | é o módulo do produto vetorial, que nos dá a área de um elemento infinitesimal da superfície.
Passo 3
Vamos identificar a parametrização da superfície S:
r(u, v) = lang<= x, y, z rang<= = lang<= u + v, , u - v, , 1 + 2u + v rang<=
Agora, vamos calcular as derivadas parciais ru e rv: