Calcule as sesguintes integrais utilizndo o teorema de Green:
ointgamma(x-y) d x-x^2 d y, onde gamma é a fronteira da região [0,2] times[0,2].

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha ointgamma(x - y) dx - x^2 dy utilizando o Teorema de Green. Este exercício pertence ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre a relação entre integrais de linha e integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o teorema para convertê-la em uma integral dupla sobre a região delimitada por gamma, que é o quadrado definido por [0,2] times [0,2].

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que nos diz que para uma curva fechada simples gamma que delimita uma região D, temos:
ointgamma (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
No nosso caso, identificamos:
  • P = x - y
  • Q = -x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. A derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x = partial (-x^2)partial x = -2x
  1. A derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y = partial (x - y)partial y = -1

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaD ( -2x - (-1) ) , dx , dy = integral duplaD (-2x + 1) , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região D = [0,2] times [0,2]. Isso significa que x varia de 0 a 2 e y também varia de 0 a 2. A integral fica:
integral0^2 integral0^2 (-2x + 1) , dx , dy

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a x:
integral0^2 (-2x + 1) , dx = [ -x^2 + x ]0^2 = [ -4 + 2 ] - [0 + 0] = -2

Passo 7

Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a y:
integral0^2 (-2) , dy = (-2) times (2) = -4

Resposta

O valor da integral é boxed-4.

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