Calcule as sesguintes integrais utilizndo o teorema de Green:
, onde
é a fronteira da região
.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
utilizando o Teorema de Green. Este exercício pertence ao estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre a relação entre integrais de linha e integrais duplas. Para resolver, vamos precisar identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o teorema para convertê-la em uma integral dupla sobre a região delimitada por
, que é o quadrado definido por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que nos diz que para uma curva fechada simples
que delimita uma região
, temos:
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- A derivada parcial de
em relação a :
- A derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região
. Isso significa que
varia de 0 a 2 e
também varia de 0 a 2. A integral fica:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 7
Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.