Se L(g(t))(s)=s-3s^2-6 s+10, determine g(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a transformada de Laplace de uma função $ g(t) $ e pede para descobrir qual é $ g(t) $. Para isso, precisamos entender um pouco sobre Transformada de Laplace e como fazer a inversa dela para encontrar a função original no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a expressão da transformada de Laplace que nos foi dada:
L(g(t))(s) = s - 3s^2 - 6s + 10
Nosso objetivo é encontrar $ g(t) $ a partir dessa expressão. Para isso, precisamos simplificar a fração e identificar uma forma que reconheçamos da tabela de transformadas inversas.

Passo 3

Vamos começar simplificando o denominador $ s^{2} - 6s + 10 $. Uma técnica útil é completar o quadrado:
s^2 - 6s + 10
Então, nossa expressão fica:
s^2 - 6s + 10 = (s^2 - 6s + 9) + 1 = (s - 3)^2 + 1

Passo 4

Agora, vamos comparar essa forma com uma das formas padrões da transformada de Laplace que conhecemos:
L(e^at cos(bt)) = s - a(s - a)^2 + b^2
Comparando com a nossa expressão, vemos que:
a = 3 e b = 1

Passo 5

Usando essa comparação, podemos identificar diretamente a função $ g(t) $:
g(t)

Resposta

A função $ g(t) $ é dada por:
g(t)

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