Encontre a forma trigonométrica do número complexo -2+2 i sqrt3.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a forma trigonométrica do número complexo -2 + 2iraiz3. O conteúdo aqui é representação trigonométrica de números complexos, e vamos precisar calcular o módulo r e o argumento theta.

Passo 2

Para achar o módulo r de um número complexo x + iy, usamos a definição r = raizx^2 + y^2. No nosso caso, x = -2 e y = 2raiz3, então:
r = raiz(-2)^2 + l(2raiz3r)^2 = raiz4 + 12 = 4

Passo 3

Para determinar o argumento theta, primeiro vemos a razão y/x = (2raiz3)/(-2) = -raiz3. A arctangente de -raiz3 é -pi/3, mas o ponto (-2,2raiz3) está no segundo quadrante, onde o ângulo principal é dado por pi - |arctan(y/x)|. Assim:
theta = pi - pi3 = 2pi3

Passo 4

Com o módulo e o argumento em mãos, escrevemos a forma trigonométrica: z = rl(costheta + isinthetar). Substituindo os valores encontrados:
z = 4l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r)

Resposta

4l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r)

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