Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y=\cos (x) \operatorname{com} 0 \leq x \leq \pi / 2, em torno
a) Do eixo das ordenadas.
b) Da reta \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, no primeiro quadrante, a região limitada pelos eixos e pela curva y=\cos(x) em 0\le x\le\frac{\pi}{2}.
Conteúdo: cálculo de volume pelo método dos cilindros (shells), que usa a fórmula
V = 2\pi \int_{a}^{b} (\text{raio})(\text{altura})\,dx.

Passo 2

(a) Rotação em torno do eixo y.
Um elemento vertical em x gera um cilindro de raio x e altura \cos(x).
V_a = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos(x)\,dx.
Para calcular \displaystyle\int x\cos(x)\,dx, faça integração por partes com u=x, dv=\cos(x)\,dx:
\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx = x\sin(x)+\cos(x)+C.
Avaliando de 0 a \frac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(x)\,dx =\bigl[x\sin(x)+\cos(x)\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\cdot1+0\Bigr)-\bigl(0+1\bigr) =\tfrac{\pi}{2}-1.
Logo
V_a = 2\pi\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-1\Bigr) =\pi^2 -2\pi.

Passo 3

(b) Rotação em torno da reta x=\frac{\pi}{2}.
Um elemento em x forma um cilindro de raio \frac{\pi}{2}-x e altura \cos(x).
V_b = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)\cos(x)\,dx.
Separe a integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)\cos(x)\,dx =\tfrac{\pi}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(x)\,dx.
Sabemos \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=1 e \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos(x)\,dx=\tfrac{\pi}{2}-1, logo
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)\cos(x)\,dx =\tfrac{\pi}{2}\cdot1 -\bigl(\tfrac{\pi}{2}-1\bigr) =1.
Portanto
V_b = 2\pi\cdot1 =2\pi.

Resposta

a) V=\pi^2-2\pi
b) V=2\pi

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