Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e pela curva
, em torno
a) Do eixo das ordenadas.
b) Da reta
.
a) Do eixo das ordenadas.
b) Da reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, no primeiro quadrante, a região limitada pelos eixos e pela curva
em
.
Conteúdo: cálculo de volume pelo método dos cilindros (shells), que usa a fórmula
Conteúdo: cálculo de volume pelo método dos cilindros (shells), que usa a fórmula
Passo 2
(a) Rotação em torno do eixo
.
Um elemento vertical em gera um cilindro de raio
e altura
.
Um elemento vertical em
Para calcular
, faça integração por partes com
,
:
Avaliando de
a
:
Logo
Passo 3
(b) Rotação em torno da reta
.
Um elemento em forma um cilindro de raio
e altura
.
Um elemento em
Separe a integral:
Sabemos
e
, logo
Portanto
Resposta
a)
b)
b)