Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenadas, pela curva y=e^{-x} e pela reta x=1.
Em torno da reta x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=1, a região do primeiro quadrante limitada por x=0, y=0, y=e^{-x} e x=1. O método mais direto aqui é o das cascas cilíndricas, pois a região é fácil de descrever em função de x.

Passo 2

Num elemento em x com espessura \,dx, a casca tem:
– raio R = 1 - x (distância da reta x=1),
– altura H = e^{-x}.
Então o volume infinitesimal é
dV = 2\pi\,(\,\text{raio}\,)\,(\,\text{altura}\,)\,dx = 2\pi\,(1 - x)\,e^{-x}\,dx
e o volume total é
V = 2\pi \int_{0}^{1} (1 - x)\,e^{-x}\,dx.

Passo 3

Para calcular
I = \int_{0}^{1} (1 - x)\,e^{-x}\,dx
separamos em
\int_{0}^{1} e^{-x}\,dx \;-\;\int_{0}^{1} x\,e^{-x}\,dx.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x}\,dx = \bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = 1 - e^{-1}.
  2. Para \displaystyle \int_{0}^{1} x\,e^{-x}\,dx, fazemos integração por partes com u=x, dv=e^{-x}dx:
\int x\,e^{-x}dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C,
avaliando de 0 a 1 dá
\bigl[-x\,e^{-x} - e^{-x}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(-1\cdot e^{-1} - e^{-1}\bigr) - \bigl(0 - 1\bigr) = 1 - 2e^{-1}.
Portanto
I = (1 - e^{-1}) - (1 - 2e^{-1}) = e^{-1}.

Passo 4

Substituindo em V, obtemos
V = 2\pi \,I = 2\pi\,e^{-1}.

Resposta

V = 2\pi e^{-1}.

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