Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{5} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{5} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \,dz\,dy\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • As variáveis variam segundo os limites indicados: x de -3 a 3, para cada x o y vai de -\sqrt{9-x^{2}} até \sqrt{9-x^{2}}, e z vai de 0 a 5.
  • O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região no plano xy delimitada por x e y descritos é o disco de raio 3 centrado na origem.
  • A integral é sobre um cilindro reto (base disco de raio 3 no plano xy e altura 5 no eixo z).

Passo 2

Interpretação geométrica e ideia para simplificar:
  • A região de integração em xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.
  • O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} depende apenas da distância radial ao eixo z.
    Quando o integrando e a região têm simetria circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (ou polares no plano xy) porque a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica simples e o elemento de volume incorpora automaticamente o fator de “espalhamento” radial.

Passo 3

Troca de variáveis para coordenadas cilíndricas e justificativa:
  • Em coordenadas cilíndricas definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Breve explicação do porquê do fator r: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados dr e r\,d\theta, então a área elemental no plano xy é r\,dr\,d\theta; multiplicando por dz obtém-se o volume elemental.
  • O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} fica simplesmente r, porque
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r\quad(\text{com }r\ge0).

Passo 4

Determinação dos limites de integração nas novas variáveis:
  • Como a região no plano xy é o disco de raio 3, temos 0\le r\le 3 e 0\le \theta\le 2\pi.
  • Para z os limites são 0\le z\le 5 (independente de r e \theta).
  • Portanto a integral transforma-se em
\int_{z=0}^{5}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3} \bigl(\underbrace{r}_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\bigr)\cdot\bigl(\underbrace{r\,dr\,d\theta\,dz}_{dV}\bigr) = \int_{0}^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3} r^{2}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 5

Cálculo passo a passo da integral transformada:
  1. Integrar em r:
\int_{0}^{3} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{27}{3} = 9.
  1. Integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 9\,d\theta = 9\cdot(2\pi) = 18\pi.
  1. Integrar em z:
\int_{0}^{5} 18\pi\,dz = 18\pi\cdot 5 = 90\pi.

Resposta

\;90\pi

Exercícios relacionados