Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas que vamos usar:
- As variáveis variam segundo os limites indicados:
de a , para cada o vai de até , e vai de a . - O integrando é
. - A região no plano
delimitada por e descritos é o disco de raio centrado na origem. - A integral é sobre um cilindro reto (base disco de raio
no plano e altura no eixo ).
Passo 2
Interpretação geométrica e ideia para simplificar:
- A região de integração em
é o disco . - O integrando
depende apenas da distância radial ao eixo .
Quando o integrando e a região têm simetria circular, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (ou polares no plano) porque a expressão fica simples e o elemento de volume incorpora automaticamente o fator de “espalhamento” radial.
Passo 3
Troca de variáveis para coordenadas cilíndricas e justificativa:
- Em coordenadas cilíndricas definimos
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo polar.
- O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Breve explicação do porquê do fator
: um pequeno retângulo em
tem lados
e
, então a área elemental no plano
é
; multiplicando por
obtém-se o volume elemental.
- O integrando
fica simplesmente , porque
Passo 4
Determinação dos limites de integração nas novas variáveis:
- Como a região no plano
é o disco de raio , temos e . - Para
os limites são (independente de e ). - Portanto a integral transforma-se em
Passo 5
Cálculo passo a passo da integral transformada:
- Integrar em
:
- Integrar em
:
- Integrar em
: