Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas e o que o problema requer:
- Os limites em
definem o conjunto de pontos tais que , e . - A função a ser integrada é
. - É preciso calcular o valor numérico desta integral tripla.
Passo 2
Identificar a região de integração. Note que, para os
sujeitos aos limites dados, vale
Somando
aos dois lados obtemos
Portanto a região de integração é a bola sólida de raio
centrada na origem, isto é
Passo 3
Escolha do sistema de coordenadas e motivação. A região é completamente simétrica (esfera), e a integrando depende somente de
. Por isso é natural usar coordenadas esféricas, que simplificam muito: em coordenadas esféricas define-se
onde:
-
é a distância ao origem, ; -
é o ângulo polar medido a partir do eixo , com ; -
é o ângulo azimutal no plano , com .
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Breve explicação do
: um volume elementar esférico tem medidas aproximadas
radialmente,
na direção polar e
na direção azimutal; multiplicando esses comprimentos obtém-se
.
Além disso, a integrando transforma-se muito bem:
Passo 4
Escrever a integral na nova parametrização. Como a região é a bola de raio
, os limites em esféricas são
,
,
. Substituindo na integral:
Simplificando o integrando obtemos a integral separável
Passo 5
Calcular a integral passo a passo, separando as variáveis (produto de integrais):
Calculemos cada uma:
- Integral radial:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando os resultados: