Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas e o que o problema requer:
  • Os limites em x,y,z definem o conjunto de pontos (x,y,z) tais que -1\le x\le1, -\sqrt{1-x^{2}}\le y\le\sqrt{1-x^{2}} e -\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\le z\le\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.
  • A função a ser integrada é x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • É preciso calcular o valor numérico desta integral tripla.

Passo 2

Identificar a região de integração. Note que, para os x,y,z sujeitos aos limites dados, vale
-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\le z\le\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}\le 1-x^{2}-y^{2}.
Somando x^{2}+y^{2} aos dois lados obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1.
Portanto a região de integração é a bola sólida de raio 1 centrada na origem, isto é
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.

Passo 3

Escolha do sistema de coordenadas e motivação. A região é completamente simétrica (esfera), e a integrando depende somente de x^{2}+y^{2}+z^{2}. Por isso é natural usar coordenadas esféricas, que simplificam muito: em coordenadas esféricas define-se
\begin{aligned} x&=r\sin\varphi\cos\theta,\\\ y&=r\sin\varphi\sin\theta,\\\ z&=r\cos\varphi, \end{aligned}
onde:
  • r é a distância ao origem, r\ge 0;
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z, com 0\le\varphi\le\pi;
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve explicação do r^{2}\sin\varphi: um volume elementar esférico tem medidas aproximadas dr radialmente, r\,d\varphi na direção polar e r\sin\varphi\,d\theta na direção azimutal; multiplicando esses comprimentos obtém-se dr\cdot r\,d\varphi\cdot r\sin\varphi = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Além disso, a integrando transforma-se muito bem:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.

Passo 4

Escrever a integral na nova parametrização. Como a região é a bola de raio 1, os limites em esféricas são 0\le r\le 1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le 2\pi. Substituindo na integral:
\iiint_{B} (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \bigl(r^{2}\bigr)\, \bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Simplificando o integrando obtemos a integral separável
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{4}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo, separando as variáveis (produto de integrais):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{4}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{0}^{1} r^{4}\,dr\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right).
Calculemos cada uma:
  • Integral radial:
\int_{0}^{1} r^{4}\,dr=\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=2.
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando os resultados:
\frac{1}{5}\cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{5}.

Resposta

\dfrac{4\pi}{5}

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