Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} z\left(x+y+z^{2}\right)^{2} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} z\left(x+y+z^{2}\right)^{2}\,dz\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
  • A variável de integração mais interna é z, com 0\le z\le1.
  • As integrais externas são em y com 0\le y\le2 e em x com 0\le x\le1.
  • O integrando é z\left(x+y+z^{2}\right)^{2}.
    O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia para começar: integrar primeiro em z (a integral interna) tratando x e y como constantes. Para facilitar a integração observe a substituição natural
u = x+y+z^{2}.
Explico a ideia da substituição: como a expressão dentro do quadrado depende de z^{2} e há um fator z\,dz multiplicando, a derivada de z^{2} é 2z, então du ficará proporcional a z\,dz, permitindo simplificar a integral. Calculando o diferencial:
du = 2z\,dz \quad\Rightarrow\quad z\,dz = \frac{1}{2}\,du.
Agora trocamos os limites de z para u:
  • quando z=0, u=x+y+0^{2}=x+y;
  • quando z=1, u=x+y+1.
    Substituindo na integral interna:
\int_{0}^{1} z\left(x+y+z^{2}\right)^{2}\,dz = \int_{u=x+y}^{\,x+y+1} u^{2}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{x+y}^{\,x+y+1} u^{2}\,du.
Agora calculamos essa integral em u:
\frac{1}{2}\int_{x+y}^{\,x+y+1} u^{2}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{u=x+y}^{\,x+y+1} = \frac{1}{6}\Bigl((x+y+1)^{3}-(x+y)^{3}\Bigr).

Passo 3

Substituímos o resultado da integral em z nas integrais restantes:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \frac{1}{6}\Bigl((x+y+1)^{3}-(x+y)^{3}\Bigr)\,dy\,dx = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\Bigl((x+y+1)^{3}-(x+y)^{3}\Bigr)\,dy\,dx.
Agora vamos integrar em y. Para uma função do tipo (x+y+a)^{3} (com x tratado como constante), uma primitiva em y é \dfrac{(x+y+a)^{4}}{4}. Aplicando isso:
\int_{0}^{2}(x+y+1)^{3}\,dy = \left[\frac{(x+y+1)^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{(x+3)^{4}-(x+1)^{4}}{4},
\int_{0}^{2}(x+y)^{3}\,dy = \left[\frac{(x+y)^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{(x+2)^{4}-x^{4}}{4}.
Portanto a integral dupla reduz-se a
\frac{1}{6}\int_{0}^{1}\left(\frac{(x+3)^{4}-(x+1)^{4}}{4}-\frac{(x+2)^{4}-x^{4}}{4}\right)dx = \frac{1}{24}\int_{0}^{1}\Bigl((x+3)^{4}-(x+1)^{4}-(x+2)^{4}+x^{4}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Para integrar o polinômio dentro do integrando, vamos expandir cada termo usando o binômio de Newton. Lembrando que (x+a)^{4}=x^{4}+4a x^{3}+6a^{2}x^{2}+4a^{3}x+a^{4}.
Calculando cada expansão:
(x+3)^{4}=x^{4}+12x^{3}+54x^{2}+108x+81,
(x+1)^{4}=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1,
(x+2)^{4}=x^{4}+8x^{3}+24x^{2}+32x+16,
x^{4}=x^{4}.
Agora formamos a combinação
S(x)=(x+3)^{4}-(x+1)^{4}-(x+2)^{4}+x^{4}.
Somando os coeficientes termo a termo:
  • Coeficiente de x^{4}: 1-1-1+1=0.
  • Coeficiente de x^{3}: 12-4-8+0=0.
  • Coeficiente de x^{2}: 54-6-24+0=24.
  • Coeficiente de x: 108-4-32+0=72.
  • Constante: 81-1-16+0=64.
    Portanto
S(x)=24x^{2}+72x+64.
Assim a expressão dentro da integral fica simples:
\frac{1}{24}S(x)=\frac{1}{24}\bigl(24x^{2}+72x+64\bigr)=x^{2}+3x+\frac{64}{24}.
E reduzimos \dfrac{64}{24}=\dfrac{8}{3}. Logo a integral sobre x é
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3x+\frac{8}{3}\right)\,dx.

Passo 5

Agora integramos em x termo a termo. As primitivas são:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 3x\,dx=\frac{3x^{2}}{2},\qquad \int \frac{8}{3}\,dx=\frac{8}{3}x.
Avaliando de 0 a 1:
\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\frac{8}{3}x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}+\frac{3}{2}+\frac{8}{3}.
Somando os termos com denominador comum 6:
\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=\frac{9}{3}=3,\quad 3+\frac{3}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{6+3}{2}=\frac{9}{2}.
Portanto o valor da integral é \dfrac{9}{2}.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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