Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações fornecidas:
- A variável de integração mais interna é
, com . - As integrais externas são em
com e em com . - O integrando é
.
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Estratégia para começar: integrar primeiro em
(a integral interna) tratando
e
como constantes. Para facilitar a integração observe a substituição natural
Explico a ideia da substituição: como a expressão dentro do quadrado depende de
e há um fator
multiplicando, a derivada de
é
, então
ficará proporcional a
, permitindo simplificar a integral. Calculando o diferencial:
Agora trocamos os limites de
para
:
- quando
, ; - quando
, .
Substituindo na integral interna:
Agora calculamos essa integral em
:
Passo 3
Substituímos o resultado da integral em
nas integrais restantes:
Agora vamos integrar em
. Para uma função do tipo
(com
tratado como constante), uma primitiva em
é
. Aplicando isso:
Portanto a integral dupla reduz-se a
Passo 4
Para integrar o polinômio dentro do integrando, vamos expandir cada termo usando o binômio de Newton. Lembrando que
.
Calculando cada expansão:
Calculando cada expansão:
Agora formamos a combinação
Somando os coeficientes termo a termo:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Portanto
Assim a expressão dentro da integral fica simples:
E reduzimos
. Logo a integral sobre
é
Passo 5
Agora integramos em
termo a termo. As primitivas são:
Avaliando de
a
:
Somando os termos com denominador comum
:
Portanto o valor da integral é
.