Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas. \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(x+y+z) d z d y d x
Explico: usamos a linearidade para separar a integral do somatório em três integrais.
Passo 3
Calcular a primeira integral \displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,dz\,dy\,dx.
Note que x não depende de y nem de z, então as integrais em z e y apenas multiplicam por seus comprimentos (que são 1 cada):
Calcular a segunda integral \displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,dz\,dy\,dx.
Pelo mesmo raciocínio de simetria, y não depende de x nem de z, então as integrais em x e z dão fator 1:
Calcular a terceira integral \displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}z\,dz\,dy\,dx.
Dessa vez z depende apenas de z, então as integrais em x e y contribuem com fatores 1: