Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(x+y+z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+y+z)\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Região de integração: o cubo unitário [0,1]\times[0,1]\times[0,1] com x,y,z variando de 0 a 1.
  • Integrando: a função x+y+z.
    A tarefa é obter o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Ideia do método (ferramentas que vamos usar):
  • Linearidade da integral: para funções f e g vale \int (f+g)=\int f + \int g e \int c f = c\int f para constante c.
  • Teorema de Fubini: como a região é um produto e a função é contínua, podemos integrar iterativamente na ordem dada. Assim podemos separar
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+y+z)\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,dz\,dy\,dx + \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,dz\,dy\,dx + \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}z\,dz\,dy\,dx.
Explico: usamos a linearidade para separar a integral do somatório em três integrais.

Passo 3

Calcular a primeira integral \displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,dz\,dy\,dx.
Note que x não depende de y nem de z, então as integrais em z e y apenas multiplicam por seus comprimentos (que são 1 cada):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,dz\,dy\right)dx = \int_{0}^{1}\big(x\cdot\underbrace{\int_{0}^{1}dz}_{=1}\cdot\underbrace{\int_{0}^{1}dy}_{=1}\big)\,dx = \int_{0}^{1} x\,dx.
Agora integrar x em [0,1]:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a segunda integral \displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,dz\,dy\,dx.
Pelo mesmo raciocínio de simetria, y não depende de x nem de z, então as integrais em x e z dão fator 1:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,dx\,dz\right)dy = \int_{0}^{1} y\,dy = \left.\dfrac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular a terceira integral \displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}z\,dz\,dy\,dx.
Dessa vez z depende apenas de z, então as integrais em x e y contribuem com fatores 1:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}z\,dz\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}z\,dy\,dx\right)dz = \int_{0}^{1} z\,dz = \left.\dfrac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Somando as três contribuições obtidas nos passos anteriores, a integral total é
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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