Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas e o que se pede:
- A função integranda é
. - Os limites de
são (inferior) e (superior). - Os limites de
e descrevem a projeção no plano : vai de a e, para cada , vai de a . - Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral tripla.
Passo 2
Interpretação geométrica e escolha do método.\n
A projeção no plano com
e
é o disco de raio
centrado na origem, pois esses limites equivalem a
.\n
A superfície inferior em é o paraboloide
e a superfície superior é o plano
. O sólido é, portanto, a região entre o paraboloide e o plano sobre o disco de raio
.\n
Por simetria e simplicidade, é conveniente passar para coordenadas cilíndricas (polar no plano mais
). Vou explicar a mudança de variáveis e o jacobiano antes de aplicar.\n
A projeção no plano
A superfície inferior em
Por simetria e simplicidade, é conveniente passar para coordenadas cilíndricas (polar no plano
Explicando a mudança para coordenadas cilíndricas (a aula curta):\n
- Em coordenadas cilíndricas tomamos
, e .\n - A variável
mede a distância ao eixo (ou seja ), e é o ângulo polar.\n - O diferencial de área no plano
transforma como . Esse fator é o jacobiano da transformação e aparece sempre que trocamos de coordenadas cartesianas para polares.\n - Como
, as superfícies ficam e .\n - Os limites:
varia de a (raio do disco) e de a (cobertura completa do disco).\n
Portanto, usar coordenadas cilíndricas é natural e simplifica muito a integral.
Passo 3
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas.\n
Substituindo ,
e a integranda
permanece
, obtemos a integral equivalente
Substituindo
Aqui o integrando combinado é
. Vou calcular a integral interna em
primeiro.
Calcule a integral interna:
Como
, resulta
Como
e
, isso é
Passo 4
Agora integrar em
usando a expressão obtida.\n
A integral sobre fica
A integral sobre
Vamos desenvolver passo a passo. Primeiro distribuir:
Assim
Calcule os coeficientes:
e
. Então
Compute os valores numéricos:
Então a integral em
é
Passo 5
Integrar em
e obter o resultado final.\n
Restou a integral em que é simples:
Restou a integral em
Portanto a integral tripla vale
.\n
Se ficar mais confortável, anote mentalmente: fizemos primeiro a integral em (fácil porque integrando
dá
), depois trocamos para coordenadas polares no plano
para integrar sobre o disco — essa é praticamente a estratégia padrão para sólidos com simetria circular.
Se ficar mais confortável, anote mentalmente: fizemos primeiro a integral em