Calcule as seguintes integrais triplas apresentadas em coordenadas cartesianas. Caso considere necessário para simplificar o cálculo, realize as mudanças de variáveis adequadas.
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{4} z d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{4} z \, dz \, dy \, dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função integranda é z.
  • Os limites de z são z=\;x^{2}+y^{2} (inferior) e z=4 (superior).
  • Os limites de y e x descrevem a projeção no plano xy: x vai de -2 a 2 e, para cada x, y vai de -\sqrt{4-x^{2}} a \sqrt{4-x^{2}}.
  • Pergunta: calcular o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Interpretação geométrica e escolha do método.\n
A projeção no plano xy com x\in[-2,2] e y\in[-\sqrt{4-x^{2}},\sqrt{4-x^{2}}] é o disco de raio 2 centrado na origem, pois esses limites equivalem a x^{2}+y^{2}\le 4.\n
A superfície inferior em z é o paraboloide z=x^{2}+y^{2} e a superfície superior é o plano z=4. O sólido é, portanto, a região entre o paraboloide e o plano sobre o disco de raio 2.\n
Por simetria e simplicidade, é conveniente passar para coordenadas cilíndricas (polar no plano xy mais z). Vou explicar a mudança de variáveis e o jacobiano antes de aplicar.\n
Explicando a mudança para coordenadas cilíndricas (a aula curta):\n
  • Em coordenadas cilíndricas tomamos x = r\cos\theta, y = r\sin\theta e z = z.\n
  • A variável r mede a distância ao eixo z (ou seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}), e \theta é o ângulo polar.\n
  • O diferencial de área no plano xy transforma como dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o jacobiano da transformação e aparece sempre que trocamos de coordenadas cartesianas para polares.\n
  • Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, as superfícies ficam z=r^{2} e z=4.\n
  • Os limites: r varia de 0 a 2 (raio do disco) e \theta de 0 a 2\pi (cobertura completa do disco).\n
Portanto, usar coordenadas cilíndricas é natural e simplifica muito a integral.

Passo 3

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas.\n
Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2}, dx\,dy = r\,dr\,d\theta e a integranda z permanece z, obtemos a integral equivalente
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=r^{2}}^{4} z\; r \, dz \, dr \, d\theta.
Aqui o integrando combinado é z\cdot r. Vou calcular a integral interna em z primeiro.
Calcule a integral interna:
\int_{z=r^{2}}^{4} z\; r \, dz = r \int_{r^{2}}^{4} z \, dz.
Como \int z \, dz = \tfrac{1}{2}z^{2}, resulta
r \left[\tfrac{1}{2} z^{2} \right]_{z=r^{2}}^{z=4} = r\cdot \frac{1}{2}\left(4^{2} - (r^{2})^{2}\right).
Como 4^{2}=16 e (r^{2})^{2}=r^{4}, isso é
\frac{r}{2}\bigl(16 - r^{4}\bigr).

Passo 4

Agora integrar em r usando a expressão obtida.\n
A integral sobre r fica
\int_{r=0}^{2} \frac{r}{2}\bigl(16 - r^{4}\bigr)\, dr.
Vamos desenvolver passo a passo. Primeiro distribuir:
\frac{r}{2}\bigl(16 - r^{4}\bigr)=\frac{16r}{2} - \frac{r^{5}}{2}=8r - \frac{1}{2}r^{5}.
Assim
\int_{0}^{2} \left(8r - \frac{1}{2}r^{5}\right)\, dr = \left[8\cdot\frac{r^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{2}.
Calcule os coeficientes: 8\cdot\frac{r^{2}}{2}=4r^{2} e \frac{1}{2}\cdot\frac{r^{6}}{6}=\frac{r^{6}}{12}. Então
\left[4r^{2} - \frac{r^{6}}{12}\right]_{0}^{2} = \left(4\cdot 2^{2} - \frac{2^{6}}{12}\right) - 0.
Compute os valores numéricos:
4\cdot 2^{2}=4\cdot 4=16, \qquad 2^{6}=64,\qquad \frac{64}{12}=\frac{16}{3}.
Então a integral em r é
16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.

Passo 5

Integrar em \theta e obter o resultado final.\n
Restou a integral em \theta que é simples:
\int_{0}^{2\pi} \frac{32}{3}\, d\theta = \frac{32}{3}\cdot \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{32}{3}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}.
Portanto a integral tripla vale \dfrac{64\pi}{3}.\n
Se ficar mais confortável, anote mentalmente: fizemos primeiro a integral em z (fácil porque integrando z z^{2}/2), depois trocamos para coordenadas polares no plano xy para integrar sobre o disco — essa é praticamente a estratégia padrão para sólidos com simetria circular.

Resposta

\dfrac{64\pi}{3}

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