Calcule as seguintes integrais triplas:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde a região
é
Informações relevantes dadas:
-
é a casca esférica entre as esferas de raio e (isto é, entre e em coordenadas esféricas). - Há restrição nos sinais:
e , ou seja, apenas o quadrante no plano (ângulos limitados). - A função a integrar é
.
A tarefa é calcular explicitamente esse integral.
Passo 2
Escolha de coordenadas: usar coordenadas esféricas é natural nessa região radialmente simétrica. Vou apresentar a definição e a fórmula do elemento de volume.
Definição de coordenadas esféricas:
onde
é a distância à origem,
é o ângulo polar (do eixo
), e
é o ângulo azimutal no plano
.
Elemento de volume em esféricas (jacobiano):
Passo 3
Determinar os limites para
a partir da região
.
- Como a casca é entre esferas de raio
e , tem-se
- Não há restrição em
exceto a que vem de e , então percorre todo o intervalo
- As condições
e impõem restrições sobre . Em termos de :
As duas condições simultâneas ocorrem para
Portanto os limites são
,
,
.
Passo 4
Escrever a integral em esféricas e separar a soma:
Vou tratar cada termo separadamente. Antes de calcular diretamente, observo simetria útil para o termo com
.
Passo 5
Análise do termo com
: a região
é simétrica em relação ao plano
(as condições que definem
não dependem do sinal de
). Para cada ponto
existe
. Como a função
é ímpar em
(muda de sinal), as contribuições em pares se cancelam. Logo
Isso simplifica o problema: resta calcular só
.
Passo 6
Calcular
em esféricas. Primeiro substituir
e
. Assim o integrando total é
Portanto
Agora compute as integrais em sequência (a ordem é separável porque o integrando é produto de funções de variáveis diferentes).
- Integral em
:
- Integral em
:
Usar. Então
- Integral em
:
Multiplicando os resultados (como a integral é produto das três):
Passo 7
Como já vimos em