Calcule as seguintes integrais triplas:
I=\iiint_{D}(y+z) d V, B=\left\{(x, y, z) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
I=\iiint_{B} (y+z)\,dV,
onde a região B é
B=\{(x,y,z)\mid 1 \le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\; x\ge 0,\; y\ge 0\}.
Informações relevantes dadas:
  • B é a casca esférica entre as esferas de raio 1 e 2 (isto é, \rho entre 1 e 2 em coordenadas esféricas).
  • Há restrição nos sinais: x\ge 0 e y\ge 0, ou seja, apenas o quadrante x\! \ge 0, y\! \ge 0 no plano xy (ângulos \theta limitados).
  • A função a integrar é y+z.
    A tarefa é calcular explicitamente esse integral.

Passo 2

Escolha de coordenadas: usar coordenadas esféricas é natural nessa região radialmente simétrica. Vou apresentar a definição e a fórmula do elemento de volume.
Definição de coordenadas esféricas:
\begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= \rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= \rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge 0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (do eixo z), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
Elemento de volume em esféricas (jacobiano):
dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 3

Determinar os limites para \rho,\varphi,\theta a partir da região B.
  • Como a casca é entre esferas de raio 1 e 2, tem-se
1 \le \rho \le 2.
  • Não há restrição em z exceto a que vem de \rho e \varphi, então \varphi percorre todo o intervalo
0 \le \varphi \le \pi.
  • As condições x\ge 0 e y\ge 0 impõem restrições sobre \theta. Em termos de \theta:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta \ge 0 \Longrightarrow \cos\theta\ge 0,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta \ge 0 \Longrightarrow \sin\theta\ge 0.
As duas condições simultâneas ocorrem para
0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Portanto os limites são \rho\in[1,2], \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 4

Escrever a integral em esféricas e separar a soma:
I=\iiint_{B} (y+z)\,dV =\iiint_{B} y\,dV \;+\; \iiint_{B} z\,dV.
Vou tratar cada termo separadamente. Antes de calcular diretamente, observo simetria útil para o termo com z.

Passo 5

Análise do termo com z: a região B é simétrica em relação ao plano z=0 (as condições que definem B não dependem do sinal de z). Para cada ponto (x,y,z)\in B existe (x,y,-z)\in B. Como a função z é ímpar em z (muda de sinal), as contribuições em pares se cancelam. Logo
\iiint_{B} z\,dV = 0.
Isso simplifica o problema: resta calcular só \iiint_{B} y\,dV.

Passo 6

Calcular \displaystyle \iiint_{B} y\,dV em esféricas. Primeiro substituir y=\rho\sin\varphi\sin\theta e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Assim o integrando total é
y\,dV = \rho\sin\varphi\sin\theta \cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto
\iiint_{B} y\,dV =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} \rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta \; d\rho\; d\varphi\; d\theta.
Agora compute as integrais em sequência (a ordem é separável porque o integrando é produto de funções de variáveis diferentes).
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2} \sin\theta\, d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = 1.
  1. Integral em \varphi:
    Usar \sin^{2}\varphi = \tfrac{1}{2}(1-\cos 2\varphi). Então
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}\varphi\, d\varphi = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (1-\cos 2\varphi)\,d\varphi = \tfrac{1}{2}\bigl[\varphi - \tfrac{1}{2}\sin 2\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{2}\cdot \pi = \tfrac{\pi}{2}.
  1. Integral em \rho:
\int_{1}^{2} \rho^{3}\, d\rho = \bigl[\tfrac{1}{4}\rho^{4}\bigr]_{1}^{2} = \tfrac{1}{4}\bigl(2^{4}-1^{4}\bigr) = \tfrac{1}{4}(16-1) = \tfrac{15}{4}.
Multiplicando os resultados (como a integral é produto das três):
\iiint_{B} y\,dV = \left(1\right)\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\left(\tfrac{15}{4}\right) = \tfrac{15\pi}{8}.

Passo 7

Como já vimos em

Passo 8

I=\iiint_{B} (y+z)\,dV = \iiint_{B} y\,dV + \iiint_{B} z\,dV = \tfrac{15\pi}{8} + 0 = \tfrac{15\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle I=\frac{15\pi}{8}

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