Calcule as seguintes integrais triplas:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- A integral a calcular é
. - O conjunto
é - Interpretação geométrica de
: é a casca esférica entre as esferas de raio e (ou seja, em termos de raio), com as restrições e (ou seja, apenas o setor em que e são não-negativos — na prática isso corta o disco azimutal em um quarto do círculo). - O que o enunciado pede: calcular o valor numérico da integral tripla
.
Passo 2
Escolha de coordenadas e definição das variáveis (explicação didática do porquê e como usar).
- Por que usar coordenadas esféricas? Porque a região
é definida por uma desigualdade que depende de (raio) entre duas constantes — isto sugere usar coordenadas esféricas, onde a variável radial aparece diretamente e as integrais ficam mais simples. - Definição (vou usar a convenção comum):
onde: -
é a distância ao origem (raio), -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo (vai de a em geral), -
é o ângulo polar medido a partir do eixo (vai de a em geral).
-
- Jacobiano (determinante da mudança de variáveis):
Explicando: a presença de vem da compactação de um elemento de volume esférico — é a consequência geométrica da transformação de coordenadas. - Determinar os limites de integração para
: - Pela condição radial
temos . - As restrições
e correspondem a (primeiro quadrante do plano ). - Não há restrição em
além da esfera, então .
- Pela condição radial
- Portanto os limites serão:
Passo 3
Escrever o integrando em coordenadas esféricas e montar a integral.
- Em esféricas:
Logo - Multiplicando pelo jacobiano
, o integrando completo fica - Assim a integral
é
Passo 4
Separar em integrais mais simples e calcular passo a passo (aqui mostramos fórmulas e cálculos detalhados).
- Podemos separar a integral em duas somas (por linearidade):
onde
- Note que as variáveis separam (produto de função de
com função de e ), então podemos fatorar as integrais: Calcule cada uma: -
-
- Para
use : - Portanto
-
- Agora
:- Já temos
-
- Para
observe que é integral de : - Logo
- Já temos
- Comentário intuitivo curta (checagem): a integral do termo em
some porque a região é simétrica em (para cada ponto com há simétrico com ), então a contribuição de é zero; a única contribuição vem do termo em (que é não-negativo na região ) — o cálculo acima confirma isso.
Passo 5
Juntar os resultados para obter o valor final.
- Como
e , , obtemos