Calcule as seguintes integrais triplas:
I=\iiint_{B}(y+z) d V, B=\left\{(x, y, z) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}
0 \leq \theta \leq 2 \pi
0 \leqslant \mu \leqslant 3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • A integral a calcular é I=\iiint_{B}(y+z)\,dV.
  • O conjunto B é B=\{(x,y,z)\mid 1 \le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\; x\ge 0,\; y\ge 0\}.
  • Interpretação geométrica de B: é a casca esférica entre as esferas de raio 1 e 2 (ou seja, 1\le \rho\le 2 em termos de raio), com as restrições x\ge0 e y\ge0 (ou seja, apenas o setor em que x e y são não-negativos — na prática isso corta o disco azimutal em um quarto do círculo).
  • O que o enunciado pede: calcular o valor numérico da integral tripla I.

Passo 2

Escolha de coordenadas e definição das variáveis (explicação didática do porquê e como usar).
  • Por que usar coordenadas esféricas? Porque a região B é definida por uma desigualdade que depende de x^{2}+y^{2}+z^{2} (raio) entre duas constantes — isto sugere usar coordenadas esféricas, onde a variável radial \rho aparece diretamente e as integrais ficam mais simples.
  • Definição (vou usar a convenção comum): x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde:
    • \rho\ge 0 é a distância ao origem (raio),
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x (vai de 0 a 2\pi em geral),
    • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (vai de 0 a \pi em geral).
  • Jacobiano (determinante da mudança de variáveis): dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicando: a presença de \rho^{2}\sin\varphi vem da compactação de um elemento de volume esférico — é a consequência geométrica da transformação de coordenadas.
  • Determinar os limites de integração para B:
    • Pela condição radial 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 temos \rho\in[1,2].
    • As restrições x\ge0 e y\ge0 correspondem a \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante do plano xy).
    • Não há restrição em z além da esfera, então \varphi\in[0,\pi].
  • Portanto os limites serão: \rho\in[1,2],\qquad \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \varphi\in[0,\pi].

Passo 3

Escrever o integrando em coordenadas esféricas e montar a integral.
  • Em esféricas: y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Logo y+z=\rho\bigl(\sin\varphi\sin\theta+\cos\varphi\bigr).
  • Multiplicando pelo jacobiano dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, o integrando completo fica (y+z)\,dV =\rho\bigl(\sin\varphi\sin\theta+\cos\varphi\bigr)\cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\rho^{3}\bigl(\sin^{2}\varphi\sin\theta+\sin\varphi\cos\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Assim a integral I é I=\int_{\rho=1}^{2}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi} \rho^{3}\bigl(\sin^{2}\varphi\sin\theta+\sin\varphi\cos\varphi\bigr)\,d\varphi\,d\theta\,d\rho.

Passo 4

Separar em integrais mais simples e calcular passo a passo (aqui mostramos fórmulas e cálculos detalhados).
  • Podemos separar a integral em duas somas (por linearidade): I=I_{1}+I_{2},onde I_{1}=\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi}\rho^{3}\sin^{2}\varphi\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,d\rho,
I_{2}=\int_{1}^{2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi}\rho^{3}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\,d\theta\,d\rho.
  • Note que as variáveis separam (produto de função de \rho com função de \theta e \varphi), então podemos fatorar as integrais: I_{1}=\left(\int_{1}^{2}\rho^{3}d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\right).Calcule cada uma:
    • \displaystyle \int_{1}^{2}\rho^{3}d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}.
    • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}=1.
    • Para \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi use \sin^{2}\varphi=\tfrac{1-\cos2\varphi}{2}: \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(1-\cos2\varphi)\,d\varphi =\frac{1}{2}\bigl[\varphi-\tfrac{1}{2}\sin2\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}\pi=\frac{\pi}{2}.
    • Portanto I_{1}=\frac{15}{4}\cdot 1\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{15\pi}{8}.
  • Agora I_{2}: I_{2}=\left(\int_{1}^{2}\rho^{3}d\rho\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\right).
    • Já temos \displaystyle \int_{1}^{2}\rho^{3}d\rho=\frac{15}{4}.
    • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}d\theta=\frac{\pi}{2}.
    • Para \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi observe que é integral de \tfrac{1}{2}\sin2\varphi: \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin2\varphi\,d\varphi =\frac{1}{2}\bigl[-\tfrac{1}{2}\cos2\varphi\bigr]_{0}^{\pi}= -\frac{1}{4}\bigl(\cos2\pi-\cos0\bigr)= -\frac{1}{4}(1-1)=0.
    • Logo I_{2}= \frac{15}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 0 = 0.
  • Comentário intuitivo curta (checagem): a integral do termo em z some porque a região é simétrica em z (para cada ponto com z>0 há simétrico com z<0), então a contribuição de z é zero; a única contribuição vem do termo em y (que é não-negativo na região y\ge0) — o cálculo acima confirma isso.

Passo 5

Juntar os resultados para obter o valor final.
  • Como I=I_{1}+I_{2} e I_{1}=\dfrac{15\pi}{8}, I_{2}=0, obtemos I=\frac{15\pi}{8}.

Resposta

\dfrac{15\pi}{8}

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