Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas:
- O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
(pois cada fator é positivo).
Objetivo imediato: decidir convergência ou divergência da soma infinita de
.
Passo 2
Observação intuitiva (importante para escolher o teste): para
grande temos
e
Então, intuitivamente,
se comporta como
quando
cresce. Como
é uma série geométrica convergente (razão
com
), a hipótese é de que a série original também converge. Agora vamos transformar essa intuição numa prova rigorosa.
Passo 3
Escolha do teste: usaremos o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test). Vou explicar o teste de forma simples:
- Seja
e sequências com e para suficientemente grande. - Se existir o limite finito e positivo
então
e
convergem ou divergem simultaneamente.
Motivação curta: se , para
grande
é aproximadamente
, logo têm o mesmo comportamento de soma.
Motivação curta: se
Aqui escolho
Essa escolha vem da observação do passo anterior: a parte exponencial domina e sugere comparar com a geométrica
.
Passo 4
Aplicando o Teste da Comparação por Limite:
Calculemos
Agora tomamos o limite quando
. Temos
logo, pelo produto,
Esse limite é um número positivo e finito (
), portanto, pelo Teste da Comparação por Limite, as séries
e
convergem ou divergem juntas.
Finalmente,
é uma série geométrica com razão
e, como
, ela converge. Assim, pela consequência do teste,
também converge.
Passo 5
Comentário final para a prova (dica rápida): no exame, identifique o comportamento assintótico do termo geral (aqui deu
), escolha uma série geométrica correspondente e aplique o Teste da Comparação por Limite. Isto é rápido e robusto para termos com potências
.
Resposta
Converge.