Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{3 n+2}{n} \cdot \frac{4^{n}}{5^{n}+1}\right].

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{3 n+2}{n} \cdot \frac{4^{n}}{5^{n}+1}\right]
converge ou diverge.
Informações dadas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{3 n+2}{n}\cdot\frac{4^{n}}{5^{n}+1}.
  • Os termos são positivos para todo n\ge1 (pois cada fator é positivo).
Objetivo imediato: decidir convergência ou divergência da soma infinita de a_n.

Passo 2

Observação intuitiva (importante para escolher o teste): para n grande temos
\frac{3n+2}{n}=3+\frac{2}{n}\longrightarrow 3
e
\frac{4^{n}}{5^{n}+1}\approx\frac{4^{n}}{5^{n}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{n}.
Então, intuitivamente, a_n se comporta como 3\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n} quando n cresce. Como \sum \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n} é uma série geométrica convergente (razão 4/5 com |4/5|<1), a hipótese é de que a série original também converge. Agora vamos transformar essa intuição numa prova rigorosa.

Passo 3

Escolha do teste: usaremos o Teste da Comparação por Limite (Limit Comparison Test). Vou explicar o teste de forma simples:
  • Seja (a_n) e (b_n) sequências com a_n>0 e b_n>0 para n suficientemente grande.
  • Se existir o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\quad\text{com}\quad 0<L<\infty,
então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem simultaneamente.
Motivação curta: se \frac{a_n}{b_n}\to L>0, para n grande a_n é aproximadamente L\,b_n, logo têm o mesmo comportamento de soma.
Aqui escolho
b_n=\left(\frac{4}{5}\right)^{n}.
Essa escolha vem da observação do passo anterior: a parte exponencial domina e sugere comparar com a geométrica \left(\dfrac{4}{5}\right)^n.

Passo 4

Aplicando o Teste da Comparação por Limite:
Calculemos
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{3 n+2}{n}\cdot\dfrac{4^{n}}{5^{n}+1}}{\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}} = \frac{3 n+2}{n}\cdot\frac{4^{n}}{5^{n}+1}\cdot\frac{5^{n}}{4^{n}} = \left(3+\frac{2}{n}\right)\cdot\frac{5^{n}}{5^{n}+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Temos
\lim_{n\to\infty}\left(3+\frac{2}{n}\right)=3 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{5^{n}}{5^{n}+1}=1,
logo, pelo produto,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=3\cdot 1=3.
Esse limite é um número positivo e finito ( L=3), portanto, pelo Teste da Comparação por Limite, as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.
Finalmente, \sum b_n=\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{4}{5} e, como |r|<1, ela converge. Assim, pela consequência do teste, \sum a_n também converge.

Passo 5

Comentário final para a prova (dica rápida): no exame, identifique o comportamento assintótico do termo geral (aqui deu 3(4/5)^n), escolha uma série geométrica correspondente e aplique o Teste da Comparação por Limite. Isto é rápido e robusto para termos com potências c^{n}.

Resposta

Converge.

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