Calcule as seguintes integrais triplas
1.
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V, \text { onde } E \text { é a bola com centro na origem e raio } 6 .é

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV,
onde E é a bola de centro na origem e raio 6. Informação dada:
  • Região E: bola centrada na origem com raio \,6.
  • Integrando-se a função \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} sobre E.
    O que se pede: o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Motivação e escolha das coordenadas (explicação didática): a função a integrar depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, isto é, só do raio em relação à origem. Nesses casos é muito conveniente usar coordenadas esféricas, porque tornam explícita a dependência radial e simplificam a integral.
Definição de coordenadas esféricas (convenção usada):
\begin{aligned} x &= r\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= r\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= r\cos\varphi, \end{aligned}
onde r\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
Elemento de volume em coordenadas esféricas: a mudança de variáveis tem jacobiano
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida: o pequeno volume esférico tem “altura” dr, “comprimento” angular r\,d\varphi e “largura” r\sin\varphi\,d\theta, multiplicando dá r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Transformação do integrando para coordenadas esféricas: temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},
portanto
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=r^{4}.
Multiplicando pelo jacobiano,
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}dV = r^{4}\cdot r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta = r^{6}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Agora os limites para a bola de raio 6:
0\le r\le 6,\qquad 0\le\varphi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Portanto a integral fica (escrevendo-a como produto de integrais separáveis):
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{6} r^{6}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral em r. Integramos r^{6} de 0 a 6:
\int_{0}^{6} r^{6}\,dr = \left[\frac{r^{7}}{7}\right]_{0}^{6} = \frac{6^{7}}{7}.
Cálculo numérico de 6^{7}: 6^{2}=36, 6^{3}=216, 6^{4}=1296, 6^{5}=7776, 6^{6}=46656, 6^{7}=279936. Logo
\int_{0}^{6} r^{6}\,dr = \frac{279936}{7}.

Passo 5

Calcular a integral em \varphi. Integramos \sin\varphi de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -\bigl(-\cos 0\bigr)= -(-1)-(-1)=2.

Passo 6

Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Agora juntamos os fatores (a integral é produto das três):
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \frac{279936}{7}\times 2 \times 2\pi.

Passo 7

Simplificação final dos fatores:
\frac{279936}{7}\times 2 \times 2\pi = \frac{279936\cdot 4\pi}{7}.
Multiplicando 279936 por 4 1119744. Portanto
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \frac{1119744\pi}{7}.

Resposta

\dfrac{1119744\pi}{7}

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