Calcule as seguintes integrais triplas
1.
1.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é a bola de centro na origem e raio
. Informação dada:
- Região
: bola centrada na origem com raio . - Integrando-se a função
sobre .
O que se pede: o valor numérico dessa integral tripla.
Passo 2
Motivação e escolha das coordenadas (explicação didática): a função a integrar depende apenas de
, isto é, só do raio em relação à origem. Nesses casos é muito conveniente usar coordenadas esféricas, porque tornam explícita a dependência radial e simplificam a integral.
Definição de coordenadas esféricas (convenção usada):
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
), e
é o ângulo azimutal no plano
.
Elemento de volume em coordenadas esféricas: a mudança de variáveis tem jacobiano
Explicação rápida: o pequeno volume esférico tem “altura”
, “comprimento” angular
e “largura”
, multiplicando dá
.
Passo 3
Transformação do integrando para coordenadas esféricas: temos
portanto
Multiplicando pelo jacobiano,
Agora os limites para a bola de raio
:
Portanto a integral fica (escrevendo-a como produto de integrais separáveis):
Passo 4
Calcular a integral em
. Integramos
de
a
:
Cálculo numérico de
:
,
,
,
,
,
. Logo
Passo 5
Calcular a integral em
. Integramos
de
a
:
Passo 6
Calcular a integral em
:
Agora juntamos os fatores (a integral é produto das três):
Passo 7
Simplificação final dos fatores:
Multiplicando
por
dá
. Portanto