Calcule as seguintes integrais triplas
3.
\iiint_{E} y d V \text {, onde } E \text { é o tetraedro com vértices em }(0,0,0),(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4) .éé

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{E} y\,dV,
onde E é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,4).
Informações relevantes fornecidas:
  • Vértices nos eixos: interseções com os eixos x,y,z são 2,3,4, respectivamente.
  • Precisamos integrar a função y sobre todo o volume E.

Passo 2

Primeiro vamos achar a equação do plano que passa por (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,4). Um modo simples é usar a forma dos interceptos: o plano que intercepta os eixos em a,b,c satisfaz
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui a=2, b=3, c=4. Portanto a equação do plano é
\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1.

Passo 3

Descrever E em termos de desigualdades: E é o conjunto de pontos com coordenadas não negativas que ficam abaixo (ou sobre) esse plano. Assim
x\ge 0,\qquad y\ge 0,\qquad z\ge 0,\qquad \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}\le 1.

Passo 4

Escolhemos a ordem de integração dz\,dy\,dx. Justificativa didática: para z fixos x,y, o teto é dado diretamente pela equação do plano isolada em z; para y o limite superior depende apenas de x (quando z=0 obtemos a reta no plano z=0); e x varia entre 0 e 2. Assim os limites são:
  • 0\le z\le 4\Big(1-\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}\Big) (isolando z do plano),
  • 0\le y\le 3\Big(1-\dfrac{x}{2}\Big) (colocando z=0 na equação),
  • 0\le x\le 2.
A integral iterada fica então
\iiint_{E} y\,dV=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3\left(1-\frac{x}{2}\right)}\int_{z=0}^{4\left(1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right)} y\,dz\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular a integral interna em z. Como y é tratado como constante ao integrar em z,
\int_{z=0}^{4\left(1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right)} y\,dz = y\cdot\Bigg[ z\Bigg]_{0}^{4\left(1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right)} = y\cdot 4\left(1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right).
Portanto a integral dupla que resta é
\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3\left(1-\frac{x}{2}\right)} 4y\left(1-\frac{x}{2}-\frac{y}{3}\right) dy\,dx.

Passo 6

Vamos calcular a integral em y. Para simplificar, defina
A=1-\frac{x}{2}.
Então o limite superior em y é 3A e a integranda fica 4y\left(A-\dfrac{y}{3}\right). Assim
\int_{0}^{3A} 4y\left(A-\frac{y}{3}\right) dy =4\left[A\int_{0}^{3A} y\,dy - \frac{1}{3}\int_{0}^{3A} y^{2}\,dy\right].
Calculemos as primitivas:
\int_{0}^{3A} y\,dy = \frac{1}{2}(3A)^{2}=\frac{9}{2}A^{2}, \qquad \int_{0}^{3A} y^{2}\,dy = \frac{1}{3}(3A)^{3}=9A^{3}.
Substituindo:
4\left[A\cdot\frac{9}{2}A^{2} - \frac{1}{3}\cdot 9A^{3}\right] =4\left(\frac{9}{2}A^{3}-3A^{3}\right) =4\left(\frac{3}{2}A^{3}\right)=6A^{3}.
Lembrando A=1-\dfrac{x}{2}, obtemos que a integral sobre y e z 6\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^{3}. Restará integrar em x:
\int_{0}^{2} 6\left(1-\frac{x}{2}\right)^{3} dx.

Passo 7

Calcular a integral em x. Use a substituição u=1-\dfrac{x}{2}. Então du=-\dfrac{1}{2}dx ou dx=-2\,du. Quando x=0, u=1. Quando x=2, u=0. Assim
\int_{0}^{2} 6\left(1-\frac{x}{2}\right)^{3} dx =6\int_{u=1}^{0} u^{3}(-2)\,du =12\int_{0}^{1} u^{3}\,du.
Aplicando a regra de potência para integrais:
\int_{0}^{1} u^{3}\,du=\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Portanto
12\cdot\frac{1}{4}=3.

Passo 8

Verificação alternativa (curiosidade didática): para um tetraedro cujos vértices incluem a origem e os interceptos a,b,c nos eixos, o volume é \dfrac{abc}{6}. Aqui a=2,b=3,c=4 logo o volume é \dfrac{2\cdot3\cdot4}{6}=4. O centroide (média das coordenadas dos 4 vértices) tem coordenada y igual a \dfrac{0+0+3+0}{4}=\dfrac{3}{4}. A integral de y sobre E é então o volume vezes a coordenada y do centroide: 4\cdot\dfrac{3}{4}=3. Isso confirma o resultado obtido pelo cálculo direto.

Resposta

3

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