Calcule as seguintes integrais triplas
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde
é o tetraedro com vértices em
,
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Vértices nos eixos: interseções com os eixos
são , respectivamente. - Precisamos integrar a função
sobre todo o volume .
Passo 2
Primeiro vamos achar a equação do plano que passa por
,
e
. Um modo simples é usar a forma dos interceptos: o plano que intercepta os eixos em
satisfaz
Aqui
,
,
. Portanto a equação do plano é
Passo 3
Descrever
em termos de desigualdades:
é o conjunto de pontos com coordenadas não negativas que ficam abaixo (ou sobre) esse plano. Assim
Passo 4
Escolhemos a ordem de integração
. Justificativa didática: para
fixos
, o teto é dado diretamente pela equação do plano isolada em
; para
o limite superior depende apenas de
(quando
obtemos a reta no plano
); e
varia entre
e
. Assim os limites são:
-
(isolando do plano), -
(colocando na equação), -
.
A integral iterada fica então
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Como
é tratado como constante ao integrar em
,
Portanto a integral dupla que resta é
Passo 6
Vamos calcular a integral em
. Para simplificar, defina
Então o limite superior em
é
e a integranda fica
. Assim
Calculemos as primitivas:
Substituindo:
Lembrando
, obtemos que a integral sobre
e
dá
. Restará integrar em
:
Passo 7
Calcular a integral em
. Use a substituição
. Então
ou
. Quando
,
. Quando
,
. Assim
Aplicando a regra de potência para integrais:
Portanto
Passo 8
Verificação alternativa (curiosidade didática): para um tetraedro cujos vértices incluem a origem e os interceptos
nos eixos, o volume é
. Aqui
logo o volume é
. O centroide (média das coordenadas dos 4 vértices) tem coordenada
igual a
. A integral de
sobre
é então o volume vezes a coordenada
do centroide:
. Isso confirma o resultado obtido pelo cálculo direto.