Determine a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e tem função densidade \rho.
2.
D \text { é delimitada por } y=\sqrt{x} y=0, x=1 ; \rho(x, y)=y \text {; }é

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a massa da lâmina D com densidade \rho(x,y)=y.
  • Determinar o centro de massa (coordenadas \bar{x} e \bar{y}) dessa lâmina.
Informações dadas:
  • A região D é delimitada por y=\sqrt{x}, y=0 e x=1.
  • A densidade é \rho(x,y)=y.
Dados úteis que extraio do enunciado:
  • Para cada x com 0\le x\le 1 temos 0\le y\le \sqrt{x}. (Alternativamente, para 0\le y\le 1 temos y^{2}\le x\le 1.)

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • A massa da lâmina é dada por
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um elemento de área (pense como um pequeno retângulo de lados dx e dy).
  • As coordenadas do centro de massa são
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
Explicação curta: multiplicando a densidade por x ou y dentro da integral obtemos os momentos em relação aos eixos; dividir pelo total da massa normaliza para a posição média ponderada.

Passo 3

Escolha das coordenadas e limites de integração:
  • Vou integrar primeiro em y e depois em x (ordem dy\,dx), porque para cada x\in[0,1] a variável y varia de 0 até \sqrt{x}. Assim os limites ficam
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le \sqrt{x}.
  • Assim, uma integral dupla sobre D fica, por exemplo,
\iint_{D} f(x,y)\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\right)dx.
(Isto é apenas a tradução geométrica do enunciado em limites de integração.)

Passo 4

Cálculo da massa M:
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy\right)dx.
Calculo da integral interna: para y fixo,
\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy=\left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{0}^{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=\frac{1}{2}x.
Substituindo na integral externa:
M=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x\,dx=\frac{1}{2}\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
Portanto a massa é \displaystyle M=\frac{1}{4}.

Passo 5

Cálculo de \bar{x}:
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA =\frac{1}{M}\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} x\cdot y\,dy\right)dx.
Dentro da integral x é constante em relação a y, então
\int_{0}^{\sqrt{x}} x y\,dy = x\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy = x\cdot\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2} = x\cdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^{2}.
Logo o numerador é
\iint_{D} x\,\rho\,dA = \int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{2}\,dx =\frac{1}{2}\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Agora dividindo por M=\tfrac{1}{4}:
\bar{x}=\frac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Cálculo de \bar{y}:
\bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA =\frac{1}{M}\iint_{D} y\cdot y\,dA =\frac{1}{M}\iint_{D} y^{2}\,dA.
Compute a integral dupla:
\iint_{D} y^{2}\,dA=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} y^{2}\,dy\right)dx.
Calcule a interna:
\int_{0}^{\sqrt{x}} y^{2}\,dy=\left.\frac{1}{3}y^{3}\right|_{0}^{\sqrt{x}}=\frac{1}{3}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{3}=\frac{1}{3}x^{3/2}.
Agora a integral externa:
\iint_{D} y^{2}\,dA=\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^{3/2}\,dx=\frac{1}{3}\left.\frac{x^{5/2}}{5/2}\right|_{0}^{1} =\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{15}.
Dividindo por M=\tfrac{1}{4}:
\bar{y}=\frac{\tfrac{2}{15}}{\tfrac{1}{4}}=\frac{2}{15}\cdot\frac{4}{1}=\frac{8}{15}.

Passo 7

Conclusão e interpretação final: a lâmina tem massa \tfrac{1}{4}. O centro de massa está deslocado para a direita (porque a densidade aumenta com y e a região é mais larga para x próximos de 1) e tem coordenadas \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{8}{15}\bigr).

Resposta

M=\dfrac{1}{4}
\displaystyle \bar{x}=\dfrac{2}{3}
\displaystyle \bar{y}=\dfrac{8}{15}

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