Determine a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e tem função densidade \rho.
1.
D \text { é a região triangular com vértices }(0,0),(2,4),(3,4) ; \rho(x, y)=x+y \text {; }éãé

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pediu a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D com densidade \rho(x,y)=x+y.
  • A região D é o triângulo de vértices (0,0), (2,4) e (3,4).
  • Resumo das quantidades a encontrar:
    • a massa M da lâmina;
    • as coordenadas do centro de massa \bar x e \bar y.

Passo 2

Descrever a região D de forma que possamos integrar facilmente (escolha dos limites de integração).
  • As arestas que passam por (0,0) e (2,4) e por (0,0) e (3,4) são retas pelo ponto origem; suas equações são: y = 2x \quad\text{(reta entre \((0,0)\) e \((2,4)\))},
y = \tfrac{4}{3}x \quad\text{(reta entre \((0,0)\) e \((3,4)\))}.
  • O lado superior do triângulo é a reta horizontal y=4 entre x=2 e x=3.
  • Para integrar com y como variável externa, isolamos x em função de y: x=\frac{y}{2}\quad\text{(da reta }y=2x\text{)},\qquad x=\frac{3y}{4}\quad\text{(da reta }y=\tfrac{4}{3}x\text{)}.
  • Quando y vai de 0 até 4, x varia de x=\dfrac{y}{2} (esquerda) até x=\dfrac{3y}{4} (direita). Logo: D=\{(x,y): 0\le y\le 4,\\ \tfrac{y}{2}\le x\le \tfrac{3y}{4}\}.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (e o que cada símbolo significa).
  • Massa da lâmina: M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA,onde \rho(x,y) é a densidade (massa por unidade de área) e dA indica elemento de área.
  • Coordenadas do centro de massa: \bar x=\frac{1}{M}\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA,
\bar y=\frac{1}{M}\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA.
Aqui \bar x e \bar y são as coordenadas do centro de massa; os integrais no numerador são os momentos estáticos em relação aos eixos y e x, respectivamente.

Passo 4

Cálculo da massa M.
  • Montamos o integral com os limites encontrados: M=\int_{y=0}^{4}\int_{x=\tfrac{y}{2}}^{\tfrac{3y}{4}} (x+y)\,dx\,dy.
  • Integramos em x primeiro. A primitiva de x+y em relação a x é \tfrac{1}{2}x^{2}+yx. Avaliando entre x=\tfrac{y}{2} e x=\tfrac{3y}{4}: \begin{aligned} &\left(\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{3y}{4}\right)^{2}+y\left(\tfrac{3y}{4}\right)\right) -\left(\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{y}{2}\right)^{2}+y\left(\tfrac{y}{2}\right)\right)\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{9y^{2}}{16}-\tfrac{y^{2}}{4}\right)+y\left(\tfrac{3y}{4}-\tfrac{y}{2}\right). \end{aligned}
  • Simplificando passo a passo: \tfrac{9y^{2}}{16}-\tfrac{y^{2}}{4}=\tfrac{9y^{2}-4y^{2}}{16}=\tfrac{5y^{2}}{16},então \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{5y^{2}}{16}=\tfrac{5y^{2}}{32}. \tfrac{3y}{4}-\tfrac{y}{2}=\tfrac{3y-2y}{4}=\tfrac{y}{4},então y\cdot\tfrac{y}{4}=\tfrac{y^{2}}{4}.
  • Soma das duas partes: \tfrac{5y^{2}}{32}+\tfrac{y^{2}}{4}=\tfrac{5y^{2}}{32}+\tfrac{8y^{2}}{32}=\tfrac{13y^{2}}{32}.
  • Assim M=\int_{0}^{4}\tfrac{13y^{2}}{32}\,dy=\tfrac{13}{32}\left[\tfrac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{4} =\tfrac{13}{32}\cdot\tfrac{64}{3}.
  • Simplificando \tfrac{64}{32}=2, obtemos M=\tfrac{13\cdot 2}{3}=\tfrac{26}{3}.]

Passo 5

Cálculo do momento para \bar x (numerador de \bar x).
  • Montamos o integral: I_{x}=\iint_{D} x\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{D} (x^{2}+xy)\,dA =\int_{0}^{4}\int_{\tfrac{y}{2}}^{\tfrac{3y}{4}} (x^{2}+xy)\,dx\,dy.
  • Integramos em x: primitiva de x^{2}+xy em x é \tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{y}{2}x^{2}. Avaliando entre os limites: \tfrac{1}{3}\left(\left(\tfrac{3y}{4}\right)^{3}-\left(\tfrac{y}{2}\right)^{3}\right) +\tfrac{y}{2}\left(\left(\tfrac{3y}{4}\right)^{2}-\left(\tfrac{y}{2}\right)^{2}\right).
  • Calculando frações: \left(\tfrac{3y}{4}\right)^{3}=\tfrac{27y^{3}}{64},\qquad \left(\tfrac{y}{2}\right)^{3}=\tfrac{y^{3}}{8}=\tfrac{8y^{3}}{64},então diferença é \tfrac{19y^{3}}{64} e multiplicando por \tfrac{1}{3} \tfrac{19y^{3}}{192}. \left(\tfrac{3y}{4}\right)^{2}-\left(\tfrac{y}{2}\right)^{2}=\tfrac{9y^{2}}{16}-\tfrac{y^{2}}{4}=\tfrac{5y^{2}}{16},então \tfrac{y}{2}\cdot \tfrac{5y^{2}}{16}=\tfrac{5y^{3}}{32}.
  • Somando as parcelas: \tfrac{19y^{3}}{192}+\tfrac{5y^{3}}{32}=\tfrac{19y^{3}}{192}+\tfrac{30y^{3}}{192}=\tfrac{49y^{3}}{192}.
  • Integrando em y: I_{x}=\int_{0}^{4}\tfrac{49y^{3}}{192}\,dy=\tfrac{49}{192}\left[\tfrac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{4} =\tfrac{49}{192}\cdot\tfrac{256}{4}.
  • Simplificando \tfrac{256}{4}=64 e 64/192=1/3, obtemos I_{x}=\tfrac{49}{3}.
  • Finalmente \bar x=\frac{I_{x}}{M}=\frac{\tfrac{49}{3}}{\tfrac{26}{3}}=\frac{49}{26}.

Passo 6

Cálculo do momento para \bar y (numerador de \bar y).
  • Montamos o integral: I_{y}=\iint_{D} y\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{D} (xy+y^{2})\,dA =\int_{0}^{4}\int_{\tfrac{y}{2}}^{\tfrac{3y}{4}} (xy+y^{2})\,dx\,dy.
  • Integramos em x: primitiva de xy+y^{2} em x é \tfrac{y}{2}x^{2}+y^{2}x. Avaliando entre os limites: \tfrac{y}{2}\left(\left(\tfrac{3y}{4}\right)^{2}-\left(\tfrac{y}{2}\right)^{2}\right) +y^{2}\left(\tfrac{3y}{4}-\tfrac{y}{2}\right).
  • Já calculamos partes semelhantes anteriormente: \left(\tfrac{3y}{4}\right)^{2}-\left(\tfrac{y}{2}\right)^{2}=\tfrac{5y^{2}}{16},então \tfrac{y}{2}\cdot\tfrac{5y^{2}}{16}=\tfrac{5y^{3}}{32}. \tfrac{3y}{4}-\tfrac{y}{2}=\tfrac{y}{4},\qquad y^{2}\cdot\tfrac{y}{4}=\tfrac{y^{3}}{4}.
  • Soma: \tfrac{5y^{3}}{32}+\tfrac{y^{3}}{4}=\tfrac{5y^{3}}{32}+\tfrac{8y^{3}}{32}=\tfrac{13y^{3}}{32}.
  • Integrando em y: I_{y}=\int_{0}^{4}\tfrac{13y^{3}}{32}\,dy=\tfrac{13}{32}\left[\tfrac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{4} =\tfrac{13}{32}\cdot 64=\tfrac{13\cdot 64}{32}=13\cdot 2=26.
  • Finalmente \bar y=\frac{I_{y}}{M}=\frac{26}{\tfrac{26}{3}}=3.

Passo 7

Conclusão e checagem rápida (senso físico):
  • A massa positiva é M=\tfrac{26}{3}.
  • O centro de massa \bigl(\bar x,\bar y\bigr)=\bigl(\tfrac{49}{26},\,3\bigr). Observação: \bar y=3 está entre 0 e 4 e \bar x\approx 1{,}8846 está entre 0 e 3, então as coordenadas estão dentro do triângulo, o que faz sentido físico.

Resposta

M=\dfrac{26}{3}
\displaystyle \bar x=\dfrac{49}{26},\quad \bar y=3

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