Determine a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região
e tem função densidade
.
1.
1.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pediu a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
com densidade . - A região
é o triângulo de vértices , e . - Resumo das quantidades a encontrar:
- a massa
da lâmina; - as coordenadas do centro de massa
e .
- a massa
Passo 2
Descrever a região
de forma que possamos integrar facilmente (escolha dos limites de integração).
- As arestas que passam por
e e por e são retas pelo ponto origem; suas equações são:
- O lado superior do triângulo é a reta horizontal
entre e . - Para integrar com
como variável externa, isolamos em função de : - Quando
vai de até , varia de (esquerda) até (direita). Logo:
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (e o que cada símbolo significa).
- Massa da lâmina:
onde é a densidade (massa por unidade de área) e indica elemento de área. - Coordenadas do centro de massa:
Aqui
e
são as coordenadas do centro de massa; os integrais no numerador são os momentos estáticos em relação aos eixos
e
, respectivamente.
Passo 4
Cálculo da massa
.
- Montamos o integral com os limites encontrados:
- Integramos em
primeiro. A primitiva de em relação a é . Avaliando entre e : - Simplificando passo a passo:
então . então . - Soma das duas partes:
- Assim
- Simplificando
, obtemos ]
Passo 5
Cálculo do momento para
(numerador de
).
- Montamos o integral:
- Integramos em
: primitiva de em é . Avaliando entre os limites: - Calculando frações:
então diferença é e multiplicando por dá . então . - Somando as parcelas:
- Integrando em
: - Simplificando
e , obtemos - Finalmente
Passo 6
Cálculo do momento para
(numerador de
).
- Montamos o integral:
- Integramos em
: primitiva de em é . Avaliando entre os limites: - Já calculamos partes semelhantes anteriormente:
então . - Soma:
- Integrando em
: - Finalmente
Passo 7
Conclusão e checagem rápida (senso físico):
- A massa positiva é
. - O centro de massa
. Observação: está entre e e está entre e , então as coordenadas estão dentro do triângulo, o que faz sentido físico.