Calcule as seguintes integrais triplas.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{\sqrt{3} z} \frac{z}{z^{2}+x^{2}} d x d z d y

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y}\int_{0}^{\sqrt{3}\,z}\frac{z}{z^{2}+x^{2}}\,dx\,dz\,dy.
O que está pedido é calcular o valor numérico dessa integral. Informações relevantes dadas:
  • A ordem de integração é dx depois dz depois dy.
  • Os limites são:
    • y varia de 0 a 2.
    • Para cada y, z varia de 0 a y.
    • Para cada z, x varia de 0 a \sqrt{3}\,z.
  • O integrando é \dfrac{z}{z^{2}+x^{2}}.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em x,
\int_{0}^{\sqrt{3}\,z}\frac{z}{z^{2}+x^{2}}\,dx,
para um z fixo com z\ge 0. Uma substituição muito conveniente é escalar x por z. Faço
x = z\,t \quad\Rightarrow\quad dx = z\,dt.
Quando x=0 tem t=0; quando x=\sqrt{3}\,z tem t=\sqrt{3}. Substituindo na integral:
\int_{0}^{\sqrt{3}\,z}\frac{z}{z^{2}+x^{2}}\,dx = \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{z}{z^{2}+z^{2}t^{2}}\;z\,dt = \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{z^{2}}{z^{2}(1+t^{2})}\,dt = \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 3

A integral \int_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{1}{1+t^{2}}\,dt é a primitiva clássica que dá arco-tangente. Recordando que
\frac{d}{dt}\big(\arctan t\big)=\frac{1}{1+t^{2}},
temos
\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\big[\arctan t\big]_{0}^{\sqrt{3}}=\arctan(\sqrt{3})-\arctan(0).
Conhecendo os valores notáveis,
\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},\qquad \arctan(0)=0,
logo a integral interna em x vale exatamente
\int_{0}^{\sqrt{3}\,z}\frac{z}{z^{2}+x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{3}.
Observação rápida: o resultado não depende de z (para z\ge0), por isso não há dificuldade na faixa que inclui z=0.

Passo 4

Substituo esse valor na integral dupla restante em z e y:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y}\left(\frac{\pi}{3}\right)\,dz\,dy.
Como \frac{\pi}{3} é constante, a integral em z é imediata:
\int_{0}^{y}\frac{\pi}{3}\,dz=\frac{\pi}{3}\,y.

Passo 5

Agora integro em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\frac{\pi}{3}\,y\,dy=\frac{\pi}{3}\int_{0}^{2}y\,dy =\frac{\pi}{3}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =\frac{\pi}{3}\cdot\frac{4}{2} =\frac{\pi}{3}\cdot 2 =\frac{2\pi}{3}.

Passo 6

Mini-aula rápida (por que a substituição funcionou e a identidade usada):
  • A substituição x=z\,t é um “fator de escala”: ela transforma a dependência x^{2}+z^{2} em z^{2}(t^{2}+1), o que cancela o z^{2} no denominador quando aparece também no jacobiano dx=z\,dt. Isso muitas vezes reduz integrais racionais para formas padrão.
  • A primitiva \int \dfrac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan t+C vem da derivada \dfrac{d}{dt}\arctan t=\dfrac{1}{1+t^{2}}. É uma das integrais básicas que convém decorar para provas.

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}

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