Calcule as seguintes integrais triplas.
Passo 1
O enunciado dá a integral tripla
O que está pedido é calcular o valor numérico dessa integral. Informações relevantes dadas:
- A ordem de integração é
depois depois . - Os limites são:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
-
- O integrando é
.
Passo 2
Vamos calcular a integral interna em
,
para um
fixo com
. Uma substituição muito conveniente é escalar
por
. Faço
Quando
tem
; quando
tem
. Substituindo na integral:
Passo 3
A integral
é a primitiva clássica que dá arco-tangente. Recordando que
temos
Conhecendo os valores notáveis,
logo a integral interna em
vale exatamente
Observação rápida: o resultado não depende de
(para
), por isso não há dificuldade na faixa que inclui
.
Passo 4
Substituo esse valor na integral dupla restante em
e
:
Como
é constante, a integral em
é imediata:
Passo 5
Agora integro em
de
a
:
Passo 6
Mini-aula rápida (por que a substituição funcionou e a identidade usada):
- A substituição
é um “fator de escala”: ela transforma a dependência em , o que cancela o no denominador quando aparece também no jacobiano . Isso muitas vezes reduz integrais racionais para formas padrão. - A primitiva
vem da derivada . É uma das integrais básicas que convém decorar para provas.