Determine se a sequência \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
(a) \left(\frac{3 n-1}{4 n+5}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right)_{n\ge 1} definida por
a_{n}=\frac{3n-1}{4n+5},
e pede para determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona. Informação relevante: n é um inteiro com n\ge 1.

Passo 2

Método escolhido (fácil e direto): comparar termos consecutivos calculando a diferença
a_{n+1}-a_{n}.
Regra que vou usar: se \,a_{n+1}-a_{n}>0 para todo n\ge1 então a sequência é estritamente crescente; se \,a_{n+1}-a_{n}<0 para todo n\ge1 então é estritamente decrescente; se o sinal varia, não é monotona.

Passo 3

Calcular a_{n+1}. Substituindo n+1 na fórmula,
a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{4(n+1)+5}=\frac{3n+2}{4n+9}.

Passo 4

Construir a diferença e colocar sobre um denominador comum:
a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+2}{4n+9}-\frac{3n-1}{4n+5} =\frac{(3n+2)(4n+5)-(3n-1)(4n+9)}{(4n+9)(4n+5)}.

Passo 5

Calcular os produtos no numerador passo a passo:
(3n+2)(4n+5)=12n^{2}+15n+8n+10=12n^{2}+23n+10,
(3n-1)(4n+9)=12n^{2}+27n-4n-9=12n^{2}+23n-9.
Subtraindo as duas expressões:
(3n+2)(4n+5)-(3n-1)(4n+9)=(12n^{2}+23n+10)-(12n^{2}+23n-9)=19.

Passo 6

Portanto a diferença simplifica para
a_{n+1}-a_{n}=\frac{19}{(4n+9)(4n+5)}.
Para todo n\ge1 os fatores 4n+9 e 4n+5 são positivos (por exemplo, para n=1 ambos são \ge 9 e aumentam depois), logo o denominador é positivo. Como o numerador 19 é positivo, a fração inteira é positiva para todo n\ge1. Assim \,a_{n+1}-a_{n}>0 para todo n\ge1.

Passo 7

Conclusão: a diferença entre termos consecutivos é sempre positiva, portanto a sequência \left(a_{n}\right) é estritamente crescente. (Dica prática: esse tipo de cálculo — formar a_{n+1}-a_n, reduzir e analisar o sinal — funciona para muitas sequências racionais.)

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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