Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona. Informação relevante:
é um inteiro com
.
Passo 2
Método escolhido (fácil e direto): comparar termos consecutivos calculando a diferença
Regra que vou usar: se
para todo
então a sequência é estritamente crescente; se
para todo
então é estritamente decrescente; se o sinal varia, não é monotona.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
na fórmula,
Passo 4
Construir a diferença e colocar sobre um denominador comum:
Passo 5
Calcular os produtos no numerador passo a passo:
Subtraindo as duas expressões:
Passo 6
Portanto a diferença simplifica para
Para todo
os fatores
e
são positivos (por exemplo, para
ambos são
e aumentam depois), logo o denominador é positivo. Como o numerador
é positivo, a fração inteira é positiva para todo
. Assim
para todo
.
Passo 7
Conclusão: a diferença entre termos consecutivos é sempre positiva, portanto a sequência
é estritamente crescente. (Dica prática: esse tipo de cálculo — formar
, reduzir e analisar o sinal — funciona para muitas sequências racionais.)
Resposta
A sequência é estritamente crescente.