As oscilaçōes forçadas não amortecidas para um sistema massa-mola que consiste em um bloco de massa
, preso a uma mola cuja constante elástica é igual a
e sob a influência de uma força externa
são modeladas através da seguinte equação:
Utilize
quilograma,
Newtons por metro,
e as condiçōes
para calcular
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação de oscilações forçadas não amortecidas e pede a solução
com condições iniciais. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Valores numéricos (pegos do enunciado):
, , . - Condições iniciais:
e .
Substituindo
e
na equação obtemos a equação a resolver:
O que se pede: encontrar
que satisfaça essa equação e as condições iniciais.
Passo 2
Escolha do método: como o termo à direita é uma combinação de senos e cossenos (aqui
), o método natural é o método dos coeficientes indeterminados. A ideia geral (explicando passo a passo):
- Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (para achar as oscilações livres).
- Depois procuramos uma solução particular da forma adequada ao forçamento (aqui uma combinação de
e ). - A solução geral é a soma da solução homogênea com a particular.
- Por fim aplicamos as condições iniciais para fixar as constantes.
Isso é prático na prova porque envolve operações algébricas e derivadas simples.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
A equação característica é
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Comentário físico curto (útil na prova): a frequência natural do sistema é
rad/s. Se a frequência da força externa fosse exatamente
rad/s haveria ressonância; aqui a força tem frequência
rad/s, diferente de
, então não haverá ressonância (isto é, não ficará com termos crescendo linearmente no tempo).
Passo 4
Procurar uma solução particular. Como o lado direito é
, tentamos a forma
onde
e
são constantes a determinar. Explico por quê: para forçamentos do tipo
ou
a técnica dos coeficientes indeterminados pede uma combinação de
e
. Só multiplicar por
seria necessário se
fosse solução da homogênea (o que não é o caso aqui, já que a homogênea tem frequência
, não
).
Calcule as derivadas de
:
Expliquei cada termo: ao derivar
vem
(cadeia: derivada interna é
), e ao derivar
vem
.
Passo 5
Substituir
e
na equação:
Agrupando coeficientes de
e
:
Como isso deve ser igual a
, igualamos coeficientes:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeira condição:
. Avaliando em
,
Logo
Segunda condição: calcular
e usar
.
Derivando :
Derivando
(Aqui a derivada de
é
.)
Avaliar em
:
Como
, segue
e, portanto,
Passo 7
Substituir
e
na solução geral:
Interpretação curta (útil para prova e intuir o comportamento): a solução é soma de duas oscilações harmônicas com frequências próximas (
e
rad/s) e mesma amplitude
; isso gera um movimento com batimento (envelope), que pode ser escrito usando identidade trigonométrica:
Mas a forma mais direta e conveniente é
.