As oscilaçōes forçadas não amortecidas para um sistema massa-mola que consiste em um bloco de massa m, preso a uma mola cuja constante elástica é igual a k e sob a influência de uma força externa F(t) são modeladas através da seguinte equação:
m x^{\prime \prime}+k x=F(t)
Utilize m=1 quilograma, k=9 Newtons por metro, F(t)=10 \cos (2 t) e as condiçōes x(0)=x^{\prime}(0)=0 para calcular x(t). \square

Passo 1

O enunciado dá uma equação de oscilações forçadas não amortecidas e pede a solução x(t) com condições iniciais. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: m x^{\prime\prime} + k x = F(t).
  • Valores numéricos (pegos do enunciado): m=1, k=9, F(t)=10\cos(2t).
  • Condições iniciais: x(0)=0 e x'(0)=0.
Substituindo m e k na equação obtemos a equação a resolver:
x^{\prime\prime} + 9x = 10\cos(2t).
O que se pede: encontrar x(t) que satisfaça essa equação e as condições iniciais.

Passo 2

Escolha do método: como o termo à direita é uma combinação de senos e cossenos (aqui \cos(2t)), o método natural é o método dos coeficientes indeterminados. A ideia geral (explicando passo a passo):
  • Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (para achar as oscilações livres).
  • Depois procuramos uma solução particular da forma adequada ao forçamento (aqui uma combinação de \cos(2t) e \sin(2t)).
  • A solução geral é a soma da solução homogênea com a particular.
  • Por fim aplicamos as condições iniciais para fixar as constantes.
Isso é prático na prova porque envolve operações algébricas e derivadas simples.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
x^{\prime\prime} + 9x = 0.
A equação característica é
r^2 + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 3i.
Portanto a solução geral da homogênea é
x_h(t) = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Comentário físico curto (útil na prova): a frequência natural do sistema é \omega_0 = 3 rad/s. Se a frequência da força externa fosse exatamente 3 rad/s haveria ressonância; aqui a força tem frequência 2 rad/s, diferente de 3, então não haverá ressonância (isto é, não ficará com termos crescendo linearmente no tempo).

Passo 4

Procurar uma solução particular. Como o lado direito é 10\cos(2t), tentamos a forma
x_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t),
onde A e B são constantes a determinar. Explico por quê: para forçamentos do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) a técnica dos coeficientes indeterminados pede uma combinação de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Só multiplicar por t seria necessário se \cos(2t) fosse solução da homogênea (o que não é o caso aqui, já que a homogênea tem frequência 3, não 2).
Calcule as derivadas de x_p:
x_p'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t),
x_p''(t) = -4A\cos(2t) -4B\sin(2t).
Expliquei cada termo: ao derivar \cos(2t) vem -2\sin(2t) (cadeia: derivada interna é 2), e ao derivar \sin(2t) vem 2\cos(2t).

Passo 5

Substituir x_p e x_p'' na equação:
x_p'' + 9x_p = (-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)) + 9(A\cos(2t)+B\sin(2t)).
Agrupando coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
x_p'' + 9x_p = (-4A+9A)\cos(2t) + (-4B+9B)\sin(2t) = 5A\cos(2t) + 5B\sin(2t).
Como isso deve ser igual a 10\cos(2t), igualamos coeficientes:
5A = 10,\qquad 5B = 0.
Logo
A = 2,\qquad B = 0.
Portanto a solução particular é
x_p(t) = 2\cos(2t).

Passo 6

Escrever a solução geral como soma da homogênea com a particular:
x(t) = x_h(t) + x_p(t) = C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t) + 2\cos(2t).
Agora aplicamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Primeira condição: x(0)=0. Avaliando em t=0,
x(0) = C_1\cos(0) + C_2\sin(0) + 2\cos(0) = C_1 + 0 + 2 = 0.
Logo
C_1 = -2.
Segunda condição: calcular x'(t) e usar x'(0)=0.
Derivando x(t):
x'(t) = -3C_1\sin(3t) + 3C_2\cos(3t) -4\sin(2t).
(Aqui a derivada de 2\cos(2t) é -4\sin(2t).)
Avaliar em t=0:
x'(0) = -3C_1\cdot 0 + 3C_2\cdot 1 -4\cdot 0 = 3C_2.
Como x'(0)=0, segue 3C_2=0 e, portanto,
C_2 = 0.

Passo 7

Substituir C_1 e C_2 na solução geral:
x(t) = -2\cos(3t) + 0\cdot\sin(3t) + 2\cos(2t) = 2\bigl(\cos(2t) - \cos(3t)\bigr).
Interpretação curta (útil para prova e intuir o comportamento): a solução é soma de duas oscilações harmônicas com frequências próximas ( 2 e 3 rad/s) e mesma amplitude 2; isso gera um movimento com batimento (envelope), que pode ser escrito usando identidade trigonométrica:
x(t) = 4\sin\!\left(\tfrac{5}{2}t\right)\sin\!\left(\tfrac{1}{2}t\right).
Mas a forma mais direta e conveniente é 2(\cos(2t)-\cos(3t)).

Resposta

x(t)=2\bigl(\cos(2t)-\cos(3t)\bigr)

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