Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral usando as técnicas de completar o quadrado e substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais com radical quadrático no denominador, e vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois fazer uma substituição apropriada.
Passo 2
Primeiro completamos o quadrado em . Note que
Definimos , o que implica , e então . A integral original vira
Passo 3
Separamos a integral em duas partes:
Assim fica mais fácil tratar cada termo individualmente.
Passo 4
Para a primeira integral, usamos que a derivada de é . Logo,
Passo 5
Para a segunda integral, vamos usar substituição trigonométrica. Fazemos , logo e . Então
Sabemos que Agora, voltando para u, temos sectheta = raizu^2+255 e tantheta = u5, então
integral 1raizu^2+25,du = lnl|u + raizu^2+25r| + C2'
onde C2' já absorve ln 5.
Passo 6
Somando os dois resultados, obtemos
raizu^2+25 - lnl|u + raizu^2+25r| + C
Finalmente voltamos à variável x com u = x+3, dando