Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
integral x+2raizx^2+6 x+34 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x+2raizx^2+6x+34,dx usando as técnicas de completar o quadrado e substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é integração de funções racionais com radical quadrático no denominador, e vamos precisar completar o quadrado no denominador e depois fazer uma substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado em x^2+6x+34. Note que
x^2+6x+34 = (x+3)^2 + 34 - 9 = (x+3)^2 + 25
Definimos u = x+3, o que implica du = dx, e então x+2 = u - 1. A integral original vira
integral u-1raizu^2+25,du

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
integral uraizu^2+25,du - integral 1raizu^2+25,du
Assim fica mais fácil tratar cada termo individualmente.

Passo 4

Para a primeira integral, usamos que a derivada de raizu^2+25 é uraizu^2+25. Logo,
integral uraizu^2+25,du = raizu^2+25 + C1

Passo 5

Para a segunda integral, vamos usar substituição trigonométrica. Fazemos u = 5tantheta, logo du = 5sec^2theta,dtheta e raizu^2+25 = 5sectheta. Então
integral 1raizu^2+25,du = integral 5sec^2theta5sectheta,dtheta = integral sectheta,dtheta
Sabemos que integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C2 Agora, voltando para u, temos sectheta = raizu^2+255 e tantheta = u5, então
integral 1raizu^2+25,du = lnl|u + raizu^2+25r| + C2'
onde C2' já absorve ln 5.

Passo 6

Somando os dois resultados, obtemos
raizu^2+25 - lnl|u + raizu^2+25r| + C
Finalmente voltamos à variável x com u = x+3, dando
raizx^2+6x+34 - lnl(x+3 + raizx^2+6x+34r) + C

Resposta

raizx^2+6x+34 - lnl(x+3 + raizx^2+6x+34r) + C

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