Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
integral xraizx^2-3 x+4 d x

Passo 1

A gente tem a integral integral xraizx^2-3x+4,dx. O conteúdo aqui é integração de uma função racional envolvendo raiz de polinômio de segundo grau. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no radicando e depois usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, completo o quadrado em x^2-3x+4. Vou escrever
x^2-3x+4=(x-tfrac32)^2+4-tfrac94=(x-tfrac32)^2+tfrac74

Passo 3

Agora defino u=x-tfrac32. Então du=dx e
raizx^2-3x+4=raizu^2+tfrac74=tfracraiz72,sectheta,

Passo 4

por uma substituição trigonométrica confortável:
u=tfracraiz72tantheta, du=tfracraiz72sec^2theta,dtheta

Passo 5

No numerador temos x=u+tfrac32=tfracraiz72tantheta+tfrac32. Substituindo tudo na integral:
integral xraizx^2-3x+4,dx =integral tfracraiz72tantheta+tfrac32tfracraiz72secthetacdot tfracraiz72sec^2theta,dtheta

Passo 6

Simplifico a expressão algébrica:
tfracraiz72tantheta+tfrac32tfracraiz72secthetacdot tfracraiz72sec^2theta =12l(raiz7tanthetasectheta+3secthetar)

Passo 7

Logo a integral vira
integral xraizx^2-3x+4,dx =12integral l(raiz7tanthetasectheta+3secthetar),dtheta

Passo 8

Agora uso as integrais conhecidas:
integral tanthetasectheta,dtheta=sectheta, integral sectheta,dtheta=lnl|sectheta+tanthetar|

Passo 9

Então
12integral l(raiz7tanthetasectheta+3secthetar),dtheta =12l(raiz7sectheta+3lnl|sectheta+tanthetar|r)+C

Passo 10

Falta voltar para x. Sabemos
tantheta=2uraiz7=2(x-tfrac32)raiz7, sectheta=raiz1+tan^2theta=2raiz7raizu^2+tfrac74=2raiz7raizx^2-3x+4

Passo 11

Substituindo de volta e absorvendo constantes no +C, chegamos ao resultado final.

Resposta

raizx^2-3x+4+tfrac32lnl|x-tfrac32+raizx^2-3x+4r|+C

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