Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
Passo 1
No enunciado queremos calcular a integral de uma função racional por frações parciais:
. O conteúdo envolve integrais de funções racionais, para isso vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais, além de técnicas de integração de logaritmos e arctan.
Passo 2
Fatoramos o denominador:
e
. Logo
Passo 3
Propondo a decomposição
multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum e obtemos a identidade polinomial
Passo 4
Para achar
e
, substituímos raízes simples do denominador:
- Em
: ⇒ . - Em
: ⇒ .
Passo 5
Depois, expandimos a identidade com
e igualamos coeficientes de
para obter o sistema
Daí encontramos
,
,
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos
Passo 7
Integramos termo a termo:
-
. -
. -
.
Passo 8
Para
escrevemos
. Então
Resposta
[\displaystyle\ln|x|-2\ln|x+1|-\frac{3}{x+1}+\ln(x^{2}-x+1)+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\bigl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\bigr)+C]