Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
integral x^4+8 x^3-x^2+2 x+1(x^2+x)(x^3+1) d x

Passo 1

No enunciado queremos calcular a integral de uma função racional por frações parciais: integral x^4+8x^3-x^2+2x+1(x^2+x)(x^3+1),dx. O conteúdo envolve integrais de funções racionais, para isso vamos precisar fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais, além de técnicas de integração de logaritmos e arctan.

Passo 2

Fatoramos o denominador: x^2+x=x(x+1) e x^3+1=(x+1)(x^2-x+1). Logo
(x^2+x)(x^3+1)=x(x+1)^2(x^2-x+1)

Passo 3

Propondo a decomposição
x^4+8x^3-x^2+2x+1x(x+1)^2(x^2-x+1)=Ax+Bx+1+C(x+1)^2+Dx+Ex^2-x+1,
multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum e obtemos a identidade polinomial
x^4+8x^3-x^2+2x+1=A(x+1)^2(x^2-x+1)+B,x(x+1)(x^2-x+1)+C,x(x^2-x+1)+(Dx+E)x(x+1)^2

Passo 4

Para achar A e C, substituímos raízes simples do denominador:
  • Em x=0: 1=A A=1.
  • Em x=-1: -9=-3C C=3.

Passo 5

Depois, expandimos a identidade com A=1, C=3 e igualamos coeficientes de x^4,x^3,x^2,x para obter o sistema
1+B+D=1, 4+2D+E=8, -3+D+2E=-1, 4+B+E=2
Daí encontramos B=-2, D=2, E=0.

Passo 6

Substituindo na integral, temos
integral(1x-2x+1+3(x+1)^2+2xx^2-x+1)dx

Passo 7

Integramos termo a termo:
  • integral1xdx=ln|x|.
  • integral-2x+1dx=-2ln|x+1|.
  • integral3(x+1)^2dx=-3x+1.

Passo 8

Para integral2xx^2-x+1dx escrevemos 2x=(2x-1)+1. Então
integral2xx^2-x+1dx=integral2x-1x^2-x+1dx+integral1x^2-x+1dx
=ln(x^2-x+1)+2raiz3arctan!l(2x-1raiz3r).

Resposta

[\displaystyle\ln|x|-2\ln|x+1|-\frac{3}{x+1}+\ln(x^{2}-x+1)+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\bigl(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\bigr)+C]

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