Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
integral d xx^8+x^6

Passo 1

Em resumo, precisamos calcular a integral integral dxx^8 + x^6. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais, já que o denominador é um polinômio que se fatora em raízes reais (zero de multiplicidade) e um fator quadrático irreduzível.

Passo 2

Observando o denominador, temos:
x^8 + x^6 = x^6(x^2 + 1)

Passo 3

Como a raiz x=0 tem multiplicidade 6 e x^2+1 é irreduzível, a forma geral da decomposição é:
1x^6(x^2+1) = A1x + A2x^2 + A3x^3 + A4x^4 + A5x^5 + A6x^6 + B,x + Cx^2+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x^6(x^2+1) e comparando coeficientes em x, obtemos o sistema cuja solução é:
A6 = 1, A4 = -1, A2 = 1, B = 0, C = -1, A1 = A3 = A5 = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na decomposição, fica:
1x^6(x^2+1) = 1x^6 - 1x^4 + 1x^2 - 1x^2+1

Passo 6

Agora, integramos termo a termo usando fórmulas padrão:
integral x^-6dx = -15x^5,
integral -x^-4dx = 13x^3,
integral x^-2dx = -1x,
integral -1x^2+1dx = -arctan x

Passo 7

Somando todas as parcelas, chegamos à antiderivada completa.

Resposta

-\frac{1}{5x^5} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{x} - \arctan x + C

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