Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
Passo 1
Em resumo, precisamos calcular a integral
. O conteúdo envolvido é decomposição em frações parciais, já que o denominador é um polinômio que se fatora em raízes reais (zero de multiplicidade) e um fator quadrático irreduzível.
Passo 2
Observando o denominador, temos:
Passo 3
Como a raiz
tem multiplicidade 6 e
é irreduzível, a forma geral da decomposição é:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes em
, obtemos o sistema cuja solução é:
Passo 5
Substituindo esses valores na decomposição, fica:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo usando fórmulas padrão:
Passo 7
Somando todas as parcelas, chegamos à antiderivada completa.
Resposta
-\frac{1}{5x^5} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{x} - \arctan x + C