Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{x^{2} + 2x + 5}
usando o método das frações parciais. O conteúdo envolve reconhecer que o denominador é um quadrático irreduzível, fazer a decomposição adequada e usar completamento de quadrado para aplicar a fórmula de arco­tangente.

Passo 2

Como x^{2}+2x+5 não se fatoriza em reais, a forma de fração parcial é
\frac{1}{x^{2}+2x+5} = \frac{Ax + B}{x^{2}+2x+5}.
Igualando numeradores:
Ax + B = 1 \quad\text{para todo }x
logo A = 0 e B = 1. Assim
\int \frac{dx}{x^{2}+2x+5} = \int \frac{0\cdot x + 1}{x^{2}+2x+5}\,dx = \int \frac{dx}{x^{2}+2x+5}.

Passo 3

Agora fazemos o completamento de quadrado no denominador:
x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2} + 4.
Portanto
\int \frac{dx}{x^{2}+2x+5} = \int \frac{dx}{(x+1)^{2} + 2^{2}}.

Passo 4

Fazemos a substituição u = x+1, de modo que du = dx. A integral fica
\int \frac{du}{u^{2} + 2^{2}}.

Passo 5

Usamos a fórmula padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\frac{u}{a}\bigr) + C.
Aqui a=2, logo
\int \frac{du}{u^{2}+2^{2}} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\frac{u}{2}\bigr) + C = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\frac{x+1}{2}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{dx}{x^{2}+2x+5} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{2}\bigr) + C.

Exercícios relacionados