Calcule as seguintes integrais usando o Método das Frações Parciais:
\int \frac{(3 x+2)}{x(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3x+2}{x\,(x+1)^{3}}\,dx
usando frações parciais. Vamos decompor o integrando em somas de termos simples do tipo \tfrac{A}{x}, \tfrac{B}{x+1}, \tfrac{C}{(x+1)^{2}} e \tfrac{D}{(x+1)^{3}} e depois integrar cada parte.

Passo 2

Propondo
\frac{3x+2}{x\,(x+1)^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}} + \frac{D}{(x+1)^{3}},
multiplicamos ambos os lados por x\,(x+1)^{3} e obtemos o numerador equivalente:
3x+2 = A(x+1)^{3} + B\,x\,(x+1)^{2} + C\,x\,(x+1) + D\,x.
Para achar A,B,C,D, basta escolher valores convenientes de x e comparar coeficientes:
  1. Em x=0: 2 = A\cdot1^{3}\Rightarrow A=2.
  2. Em x=-1: -1 = D\cdot(-1)\Rightarrow D=1. Para os outros dois, comparamos coeficientes ao expandir os termos:
Coeficiente de x^{3}: A + B = 0 \,\Rightarrow B=-A=-2.
Coeficiente de x^{2}: 3A + 2B + C = 0 \,\Rightarrow 6 -4 + C=0 \,\Rightarrow C=-2. Logo
\frac{3x+2}{x\,(x+1)^{3}} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^{2}} + \frac{1}{(x+1)^{3}}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert,
\int \biggl(-\frac{2}{x+1}\biggr)dx = -2\ln\lvert x+1\rvert,
\int \biggl(-\frac{2}{(x+1)^{2}}\biggr)dx = -2\int (x+1)^{-2}dx = -2\cdot\frac{(x+1)^{-1}}{-1} = \frac{2}{x+1},
\int \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx = \int (x+1)^{-3}dx = \frac{(x+1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2\,(x+1)^{2}}.
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, temos a antiderivada completa.

Resposta

\int \frac{3x+2}{x\,(x+1)^{3}}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert \;-\;2\ln\lvert x+1\rvert \;+\;\frac{2}{x+1} \;-\;\frac{1}{2\,(x+1)^{2}} \;+\; C.

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