Prove que, se
e
são números reais satisfzendo
, então existem constantes
e
(únicas?) tais que
Passo 1
O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
onde a quadrática
é irreduzível real
. Vamos supor que exista
e determinar as constantes
.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Passo 3
Expandindo o lado direito dá
e agrupando por potências de
resulta
Passo 4
Como a igualdade vale para todo
, igualamos coeficientes de
,
e termo constante:
Passo 5
Da primeira equação segue
Da segunda segue
Substituindo essas expressões na terceira equação obtemos
Como
(a quadrática não tem raízes reais), segue
Passo 6
Portanto existem (e só podem existir) constantes
dadas acima que realizam a decomposição em frações parciais.