Prove que, se m, n, p, \alpha, a, b e c são números reais satisfzendo \Delta=b^{2}-4 a c<0, então existem constantes A, B e D (únicas?) tais que
\frac{m x^{2}+n x+p}{(x-\alpha)\left(a x^{2}+b x+c\right)}=\frac{A}{x-\alpha}+\frac{B x+D}{a x^{2}+b x+c} .

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
\frac{m x^{2}+n x+p}{(x-\alpha)\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)},
onde a quadrática a x^{2}+b x+c é irreduzível real \Delta=b^{2}-4ac<0. Vamos supor que exista
\frac{m x^{2}+n x+p}{(x-\alpha)\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)} =\frac{A}{x-\alpha}+\frac{B x+D}{a x^{2}+b x+c}
e determinar as constantes A,B,D.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por (x-\alpha)(a x^{2}+b x+c) obtemos a identidade polinomial
m x^{2}+n x+p =A\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)+(B x+D)(x-\alpha).

Passo 3

Expandindo o lado direito dá
A a x^{2}+A b x+A c \;+\;B x^{2}-\alpha B x+D x-\alpha D
e agrupando por potências de x resulta
(A a+B)x^{2}+\bigl(A b-\alpha B+D\bigr)x+(A c-\alpha D).

Passo 4

Como a igualdade vale para todo x, igualamos coeficientes de x^{2}, x e termo constante:
\begin{cases} A a + B = m,\\\ A b - \alpha B + D = n,\\\ A c - \alpha D = p. \end{cases}

Passo 5

Da primeira equação segue
B = m - A a.
Da segunda segue
D = n - A b + \alpha B = n + \alpha m - A\bigl(b+\alpha a\bigr).
Substituindo essas expressões na terceira equação obtemos
A c - \alpha\bigl(n + \alpha m - A(b+\alpha a)\bigr)=p \;\Longrightarrow\; A\,(a\alpha^{2}+b\alpha+c)=p+\alpha n+\alpha^{2}m.
Como a\alpha^{2}+b\alpha+c\neq0 (a quadrática não tem raízes reais), segue
A=\frac{p+\alpha n+\alpha^{2}m}{a\alpha^{2}+b\alpha+c}, \quad B=m-Aa, \quad D=n+\alpha m -A\bigl(b+\alpha a\bigr).

Passo 6

Portanto existem (e só podem existir) constantes A,B,D dadas acima que realizam a decomposição em frações parciais.

Resposta

A=\frac{p+\alpha n+\alpha^{2}m}{a\alpha^{2}+b\alpha+c}, \quad B=m-Aa, \quad D=n+\alpha m -A\bigl(b+\alpha a\bigr).

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