Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int_{2}^{e^{4}} \frac{d x}{x \sqrt{\ln (x)}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral definida
\int_{2}^{e^{4}}\frac{dx}{x\sqrt{\ln(x)}}
O conteúdo é o método de substituição, pois vemos \ln(x) dentro de uma raiz e \tfrac{dx}{x} sugere uma troca de variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \ln(x),
então derivando ambos os lados obtemos
du = \frac{dx}{x}.
Isso elimina o fator 1/x no integrando.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração:
para x=2 temos u_1 = \ln(2),
para x=e^{4} temos u_2 = \ln(e^{4}) = 4.

Passo 4

Substituindo na integral, ela vira
\int_{u_1}^{u_2} \frac{1}{\sqrt{u}}\,du = \int_{\ln(2)}^{4} u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 5

Para integrar u^{-\tfrac12}, usamos a regra
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aqui n = -\tfrac12, logo
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\sqrt{u}.

Passo 6

Avaliamo em \ln(2) e em 4:
2\sqrt{u}\Big|_{\ln(2)}^{4} = 2\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{\ln(2)}\bigr) = 2\bigl(2 - \sqrt{\ln(2)}\bigr) = 4 - 2\sqrt{\ln(2)}.

Resposta

4 - 2\sqrt{\ln(2)}

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