Usando a transformada de Laplace, resolva os PVIs abaixo:
y^prime+y=e^-3 t cos 2 t, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y' + y = e^-3tcos2t, y(0)=0, usando transformada de Laplace. O conteúdo é EDO de primeira ordem e vamos usar propriedades da transformada de Laplace, especialmente de derivadas e de sinais exponenciais multiplicando funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como y(0)=0, temos L[y'] = sY(s) e L[y] = Y(s). No lado direito, L[e^-3tcos2t] = s+3(s+3)^2 + 4. Assim obtemos
(s+1)Y(s) = s+3(s+3)^2 + 4

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) = s+3(s+1)l((s+3)^2+4r)

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, vamos decompor em frações parciais do tipo As+1 + B(s+3) + C(s+3)^2 + 4.

Passo 5

Calculamos A, B e C. Multiplicando tudo por (s+1)((s+3)^2+4) e comparando coeficientes ou avaliando em s=-1, achamos A = tfrac14, B = -tfrac14 e C = tfrac12. Logo
Y(s) = 1/4s+1 + -tfrac14(s+3) + tfrac12(s+3)^2 + 4

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa. Sabendo que L^-11s+1 = e^-t, L^-1tfracs+3(s+3)^2+4 = e^-3tcos2t e L^-1tfrac1(s+3)^2+4 = tfrac12e^-3tsin2t, obtemos
y(t) = tfrac14 e^-t - tfrac14 e^-3tcos2t + tfrac14 e^-3tsin2t

Resposta

y(t) = tfrac14 e^-t - tfrac14 e^-3tcos2t + tfrac14 e^-3tsin2t.

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