Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: integral0^12 x^3raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1/2 de x^3/raiz1-x^2 usando o método de integração por partes. O conteúdo aqui é integração por partes, que exige escolher funções u e dv adequadas, além de, em seguida, resolver uma integral mais simples por substituição.

Passo 2

Na integração por partes usamos a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos escrever x^3 = x^2 cdot x e escolher:
u = x^2, dv = xraiz1-x^2,dx
Assim,
du = 2x,dx, v = integral xraiz1-x^2,dx = -raiz1-x^2

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes temos:
integral x^3raiz1-x^2,dx = u,v - integral v,du = -x^2raiz1-x^2 - integrall(-raiz1-x^2r),2x,dx
Isso simplifica para
integral x^3raiz1-x^2,dx = -x^2raiz1-x^2 + 2integral xraiz1-x^2,dx

Passo 4

Agora precisamos resolver integral xraiz1-x^2,dx. Fazemos a substituição
t = 1 - x^2, dt = -2x,dx
Logo
integral xraiz1-x^2,dx = -tfrac12 integral t^1/2,dt = -tfrac12 cdot 23t^3/2 = -tfrac13(1-x^2)^3/2

Passo 5

Substituindo de volta no resultado por partes, a primitiva geral é
F(x) = -x^2raiz1-x^2 + 2l(-tfrac13(1-x^2)^3/2r) + C = -x^2raiz1-x^2 - tfrac23(1-x^2)^3/2 + C

Passo 6

Por fim, avaliamos de 0 a tfrac12:
Fl(tfrac12r) = -l(tfrac12r)^2raiz1-tfrac14 - tfrac23l(1-tfrac14r)^3/2 = -tfrac14cdottfracraiz32 - tfrac23l(tfrac34r)^3/2 = -tfracraiz38 - tfrac23cdot3raiz38 = -tfrac3raiz38,
F(0) = -0 - tfrac23cdot1 = -tfrac23
Então
integral0^1/2x^3raiz1-x^2,dx = Fl(tfrac12r) - F(0) = l(-tfrac3raiz38r) - l(-tfrac23r) = tfrac23 - tfrac3raiz38

Resposta

23 - 3raiz38

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