Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Nesse exercício, temos a série de potências centrada em x=3:
. O conteúdo é determinar o raio e intervalo de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da raiz (Cauchy–Hadamard).
Passo 2
Pelo teste da raiz, calculamos
[
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|(-1){n}\frac{n{n}}{n+1}(x-3)^{n}\right|}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n{n}}{n+1}\right){1/n},|x-3|.$
Note que
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|(-1){n}\frac{n{n}}{n+1}(x-3)^{n}\right|}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n{n}}{n+1}\right){1/n},|x-3|.$
Note que
e como
quando
, temos
Passo 3
O critério de convergência exige
. Aqui isso só acontece em
. Para qualquer
,
e a série diverge.
Concluímos que o raio de convergência é e a única abscissa de convergência é
.
Concluímos que o raio de convergência é
Resposta
O intervalo de convergência é apenas o ponto
(raio de convergência
).