Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty(-1)^n n^nn+1(x-3)^n

Passo 1

Nesse exercício, temos a série de potências centrada em x=3: sumn=1^infty(-1)^nn^nn+1(x-3)^n. O conteúdo é determinar o raio e intervalo de convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da raiz (Cauchy–Hadamard).

Passo 2

Pelo teste da raiz, calculamos
[
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|(-1){n}\frac{n{n}}{n+1}(x-3)^{n}\right|}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n{n}}{n+1}\right){1/n},|x-3|.$
Note que
Note que
e como (n^nn+1)^1/n=n(n+1)^1/n, quando e como , temos
quando

Passo 3

O critério de convergência exige L<1. Aqui isso só acontece em x=3. Para qualquer xneq3, L=+infty>1 e a série diverge.
Concluímos que o raio de convergência é R=0 e a única abscissa de convergência é x=3.

Resposta

O intervalo de convergência é apenas o ponto x=3 (raio de convergência R=0).

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