Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: integral0^pi2 e^2 x sen(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida integral0^pi2 e^2xsin(3x),dx usando o método de integração por partes.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a integral indefinida I=integral e^2xsin(3x),dx por partes. Tome u=sin(3x) e dv=e^2xdx, então du=3cos(3x)dx e v=12e^2x. Temos:
I=12e^2xsin(3x)-32integral e^2xcos(3x),dx

Passo 3

Denote J=integral e^2xcos(3x),dx. Vamos integrar J também por partes, com u=cos(3x), dv=e^2xdx, resultando em du=-3sin(3x)dx, v=tfrac12e^2x. Então:
J=12e^2xcos(3x)+32integral e^2xsin(3x),dx=12e^2xcos(3x)+32I

Passo 4

Substituindo J em I:
I=12e^2xsin(3x)-32l(12e^2xcos(3x)+32Ir) =12e^2xsin(3x)-34e^2xcos(3x)-94I
Reorganizando, I+tfrac94I=tfrac134I= e^2xl(tfrac12sin(3x)-tfrac34cos(3x)r). Logo,
I=413e^2xl(12sin(3x)-34cos(3x)r)=e^2xl(2sin(3x)-3cos(3x)r)13

Passo 5

Agora aplicamos os limites de 0 a pi2:
integral0^pi2 e^2xsin(3x),dx=[e^2xl(2sin(3x)-3cos(3x)r)13]0^pi2
Em x=pi2 vem e^pi(2sin(tfrac3pi2)-3cos(tfrac3pi2))=e^pi(2cdot(-1)-3cdot0)=-2e^pi.
Em x=0 vem e^0(2sin0-3cos0)=-3.
Subtraindo e dividindo por 13, obtemos o valor final.

Passo 6

Resposta

3-2e^pi13

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