integral1^2 5 x^2-3 x+189 x-x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=integral1^25x^2-3x+189x - x^3,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais e vamos precisar usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador para montar a decomposição:
9x - x^3 = x(9 - x^2) = x(3 - x)(3 + x)
Então assumimos:
5x^2-3x+18x(3 - x)(3 + x) = Ax + B3 - x + C3 + x

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(3 - x)(3 + x) e igualamos coeficientes:
5x^2-3x+18 = A(9 - x^2) + B,x(3 + x) + C,x(3 - x)
Expandindo e comparando coeficientes de x^2,x e termos constantes, obtemos o sistema:
B - C - A = 5, 3(B + C) = -3, 9A = 18
Dessa forma encontramos A=2, B=3 e C=-4.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
I = integral1^2l(2x + 33 - x - 43 + xr)dx
Agora integramos termo a termo:
integral 2xdx = 2ln|x|, integral 33 - xdx = -3ln|3 - x|, integral -43 + xdx = -4ln|3 + x|
Logo a primitiva é:
F(x) = 2ln|x| - 3ln|3 - x| - 4ln|3 + x|

Passo 5

Por fim, avaliamos de x=1 até x=2:
I = F(2) - F(1) = l(2ln2 - 3ln1 - 4ln5r) - l(2ln1 - 3ln2 - 4ln4r)
Como ln1=0 e ln4=2ln2, simplificamos para
I = 5ln2 + 8ln2 - 4ln5 = 13ln2 - 4ln5

Resposta

13ln2 - 4ln5

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