integral 3 z+1(z^2-4)^2 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 3z+1(z^2-4)^2,dz. O tema aqui é integração de funções racionais, em que vamos usar duas técnicas principais: separar o integrando em parte que é derivada de z^2-4 (para usar substituição) e parte que precisa de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, separamos o numerador em duas parcelas:
integral 3z+1(z^2-4)^2,dz = integral 3z(z^2-4)^2,dz + integral 1(z^2-4)^2,dz = I1 + I2

Passo 3

Para I1=integral 3z(z^2-4)^2,dz, note que se fizermos u=z^2-4 então du=2z,dz. Logo
I1 = integral 3z(z^2-4)^2,dz = 32integral u^-2,du = 32cdotl(-u^-1r) = -32(z^2-4)

Passo 4

Para I2=integral 1(z^2-4)^2,dz, fazemos a decomposição em frações parciais:
1(z-2)^2(z+2)^2 = Az-2+B(z-2)^2+Cz+2+D(z+2)^2

Passo 5

Encontramos
B=D=116, A=-132, C=132

Passo 6

Então
I2 = -132integraldzz-2 + 116integraldz(z-2)^2 + 132integraldzz+2 + 116integraldz(z+2)^2

Passo 7

Integrando cada termo:
I2 = -132ln|z-2| - 116(z-2) + 132ln|z+2| - 116(z+2) + C

Passo 8

Juntando I1 e I2 e simplificando a parte racional, obtemos
integral 3z+1(z^2-4)^2,dz = -128(z^2-4) - z8(z^2-4) + 132lnl|z+2z-2r| + C
e isso simplifica para a forma final abaixo.

Resposta

-z+128,(z^2-4) + 132ln|z+2z-2| + C

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