Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral0^1 e^2 xe^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 da função e^2xe^2x+1 usando o método de substituição. O conteúdo é integração por substituição e vamos precisar reescrever o diferencial dx e os limites em termos de uma nova variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = e^2x + 1. Então
du = 2e^2x,dx ,implies, e^2x,dx = du2
Quando x=0, temos u = e^0+1 = 2. Quando x=1, temos u = e^2+1. Assim a integral original vira
integral0^1e^2xe^2x+1,dx = integralu=2^u=e^2+11ucdotdu2 = 12integral2^e^2+1duu

Passo 3

Basta então integrar 1/u:
12integral2^e^2+1duu = 12l[ln(u)r]2^e^2+1 = 12l(ln(e^2+1) - ln(2)r) = 12ln!(e^2+12)

Resposta

12ln!l(e^2+12r)

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