Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: integral0^1 x e^x(x+1)^2 d x

Passo 1

A integral que queremos calcular é integral0^1 x e^x(x+1)^2,dx. O conteúdo envolvido é o reconhecimento de primitiva usando a regra do quociente e integração “por partes” invertida (isto é, identificar uma derivada conhecida).

Passo 2

Definimos a função f(x)=e^xx+1 e aplicamos a regra do quociente para ver sua derivada:
ddxl(e^xx+1r) =e^x(x+1)-e^xcdot 1(x+1)^2 =x e^x(x+1)^2

Passo 3

Como f'(x)=x e^x(x+1)^2, segue que
integral0^1x e^x(x+1)^2,dx =integral0^1f'(x),dx =f(1)-f(0)

Passo 4

Calculamos agora f(1) e f(0):
f(1)=e^11+1=e2, f(0)=e^00+1=1

Passo 5

Portanto a integral vale a diferença f(1)-f(0).

Resposta

e2-1

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