(a) integral0^pi2 e^2 x sen(3 x) d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral definida integral0^pi2 e^2xsin(3x),dx. O conteúdo é integração de uma exponencial vezes seno, e vamos usar a fórmula geral de integral e^axsin(bx),dx, que se obtém por integração por partes.

Passo 2

A fórmula geral diz que
integral e^axsin(bx),dx = e^axa^2 + b^2l(asin(bx) - bcos(bx)r) + C
No nosso caso, a=2 e b=3, logo
integral e^2xsin(3x),dx = e^2x2^2 + 3^2l(2sin(3x) - 3cos(3x)r) + C = e^2x13l(2sin(3x) - 3cos(3x)r) + C

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva de 0 até pi/2. Primeiro em x=pi2:
Fl(tfracpi2r) = e^2cdot(pi/2)13l(2sin(3cdottfracpi2) - 3cos(3cdottfracpi2)r) = e^pi13l(2sin(tfrac3pi2) - 3cos(tfrac3pi2)r) = e^pi13(2cdot(-1) - 3cdot 0) = -2e^pi13

Passo 4

Em x=0 temos:
F(0) = e^013l(2sin(0) - 3cos(0)r) = 113(0 - 3cdot1) = -313

Passo 5

Então a integral é
integral0^pi2 e^2xsin(3x),dx = Fl(tfracpi2r) - F(0) = l(-2e^pi13r) - l(-313r) = 3 - 2e^pi13

Resposta

3 - 2e^pi13

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