Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
f(x, y)=ln x+2 ln y-x-4 y

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y)=ln x+2ln y - x - 4y, cujo domínio é x>0 e y>0. A tarefa é achar os pontos críticos (onde o gradiente zera) e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Para encontrar esses pontos, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=1x-1, partial fpartial y=2y-4

Passo 3

Igualando cada derivada parcial a zero, resolvemos:
1x-1=0implies x=1, 2y-4=0implies y=tfrac12
Logo, o único ponto crítico é (1,tfrac12).

Passo 4

Calculamos agora as segundas derivadas para montar o Hessiano e aplicar o teste:
fxx=-1x^2, fyy=-2y^2, fxy=0

Passo 5

Avaliando em (1,tfrac12):
fxx(1,tfrac12)=-1, fyy(1,tfrac12)=-8, fxy(1,tfrac12)=0
O determinante do Hessiano é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = (-1)(-8) - 0 = 8 > 0
Como D>0 e fxx<0, concluímos que há um máximo local em (1,tfrac12).

Resposta

O único ponto crítico é (1,tfrac12), e pelo teste da segunda derivada ( D=8>0 e fxx=-1<0) trata-se de um máximo local.

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