Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
Passo 1
Estamos lidando com a função
, cujo domínio é
e
. A tarefa é achar os pontos críticos (onde o gradiente zera) e usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.
Passo 2
Para encontrar esses pontos, calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Igualando cada derivada parcial a zero, resolvemos:
Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Calculamos agora as segundas derivadas para montar o Hessiano e aplicar o teste:
Passo 5
Avaliando em
:
O determinante do Hessiano é
Como
e
, concluímos que há um máximo local em
.
Resposta
O único ponto crítico é
, e pelo teste da segunda derivada (
e
) trata-se de um máximo local.