Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e, em seguida, usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais conforme a teoria de pontos críticos: a derivada parcial em relação a
é
e a derivada parcial em relação a
Um ponto crítico ocorre quando ambas se anulam simultaneamente.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Da segunda equação vem
(pois
nunca zera). Substituindo na primeira:
leva a
, logo
. Assim o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para aplicar o teste da segunda derivada, precisamos das derivadas segundas e do Hessiano. Calculamos:
A teoria diz que o discriminante do Hessiano em
$$
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2.$$
Passo 5
Avaliamos as derivadas segundas em
:
$$
f_{xx}(0,0)=1,\quad f_{yy}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=-1.
D(0,0)=1\cdot0 - (-1)^2 = -1 <0.$$
Passo 6
Como no teste da segunda derivada para funções de duas variáveis vale: se
, o ponto crítico é ponto de sela. Portanto, em
temos um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0) e, pelo teste da segunda derivada, ele é um ponto de sela.