Encontre os pontos críticos das funções abaixo. Em seguida, use o Teste da Segunda Derivada para determinar se eles são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela (ou indique que o teste falha).
f(x, y)=e^x-x e^y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função f(x,y)=e^x - x e^y e, em seguida, usar o teste da segunda derivada (Hessiano) para classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais conforme a teoria de pontos críticos: a derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=e^x - e^y
e a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=-x e^y
Um ponto crítico ocorre quando ambas se anulam simultaneamente.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema
e^x - e^y = 0 -x e^y = 0
Da segunda equação vem x=0 (pois e^y>0 nunca zera). Substituindo na primeira: e^0 - e^y=0 leva a 1=e^y, logo y=0. Assim o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Para aplicar o teste da segunda derivada, precisamos das derivadas segundas e do Hessiano. Calculamos:
partial^2 fpartial x^2=e^x,partial^2 fpartial y^2=-x e^y,partial^2 fpartial xpartial y=-e^y
A teoria diz que o discriminante do Hessiano em (x,y) é
$$
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2.$$

Passo 5

Avaliamos as derivadas segundas em (0,0):
$$
f_{xx}(0,0)=1,\quad f_{yy}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=-1. fxx(0,0)=1, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=-1
D(0,0)=1\cdot0 - (-1)^2 = -1 <0.$$

Passo 6

Como no teste da segunda derivada para funções de duas variáveis vale: se D<0, o ponto crítico é ponto de sela. Portanto, em (0,0) temos um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e, pelo teste da segunda derivada, ele é um ponto de sela.

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