Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
integral1^e ln ^3(x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular integral1^eln^3(x),dx usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar também do fato de que ddxln(x)=1/x.

Passo 2

Para começar, aplicamos integração por partes na integral indefinida integral ln^3(x),dx. Escolhemos:
u=ln^3(x) e dv=dx, o que implica
du=3ln^2(x)cdottfrac1x,dx e v=x.
Então:
integral ln^3(x),dx = xln^3(x) - integral xcdot 3ln^2(x)cdottfrac1x,dx = xln^3(x) - 3integral ln^2(x),dx

Passo 3

Agora precisamos calcular integral ln^2(x),dx. Fazemos outra integração por partes com:
u=ln^2(x), dv=dx, logo
du=2ln(x)cdottfrac1x,dx e v=x.
Assim:
integral ln^2(x),dx = xln^2(x) - integral xcdot 2ln(x)cdottfrac1x,dx = xln^2(x) - 2integral ln(x),dx
E sabemos que integral ln(x),dx = xln(x) - x + C, então
integral ln^2(x),dx = xln^2(x) - 2l(xln(x) - xr) = xln^2(x) - 2xln(x) + 2x + C

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão de integral ln^3(x),dx, obtemos uma primitiva geral:
integral ln^3(x),dx = xln^3(x) - 3l(xln^2(x) - 2xln(x) + 2xr) + C = xln^3(x) - 3xln^2(x) + 6xln(x) - 6x + C

Passo 5

Finalmente, avaliamos essa primitiva entre os limites 1 e e. Seja
F(x)=xln^3(x) - 3xln^2(x) + 6xln(x) - 6x
Temos:
F(e)=ecdot1 - 3ecdot1 + 6ecdot1 - 6e = -2e
F(1)=1cdot0 - 3cdot1cdot0 + 6cdot1cdot0 - 6cdot1 = -6
Então
integral1^eln^3(x),dx = F(e) - F(1) = -2e - (-6) = 6 - 2e

Resposta

6 - 2e

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