Calcule o limite se ele existe, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2x^2+2 y^2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) x^2x^2+2 y^2. Esse problema está relacionado a limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o valor da função se comporta quando x e y se aproximam de zero por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o resultado é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos caminhos que dão resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar pelo caminho onde y = 0. Substituindo y por zero na função, temos:
limx to 0 x^2x^2 + 2 cdot 0^2 = limx to 0 x^2x^2 = 1
Então, ao se aproximar de (0,0) pelo eixo x, o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde x = 0. Substituindo x por zero na função, obtemos:
limy to 0 0^20^2 + 2 y^2 = limy to 0 02 y^2 = 0
Portanto, ao se aproximar de (0,0) pelo eixo y, o limite é 0.

Passo 5

Observamos que os limites obtidos pelos caminhos y = 0 e x = 0 são diferentes (1 e 0, respectivamente). Isso indica que o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de (0,0).

Passo 6

Para confirmar, podemos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta. Substituindo na função:
x^2x^2 + 2 y^2 = r^2 cos^2 thetar^2 cos^2 theta + 2 r^2 sin^2 theta = cos^2 thetacos^2 theta + 2 sin^2 theta
Aqui, vemos que o resultado depende do ângulo theta e não de r. Isso confirma que diferentes caminhos (diferentes theta) dão resultados diferentes.

Resposta

O limite não existe.

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