Calcule o limite se ele existe, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado a limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como o valor da função se comporta quando
e
se aproximam de zero por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o resultado é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos caminhos que dão resultados diferentes, isso significa que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar pelo caminho onde
. Substituindo
por zero na função, temos:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é 1.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
por zero na função, obtemos:
Portanto, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Observamos que os limites obtidos pelos caminhos
e
são diferentes (1 e 0, respectivamente). Isso indica que o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Passo 6
Para confirmar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Aqui, vemos que o resultado depende do ângulo
e não de
. Isso confirma que diferentes caminhos (diferentes
) dão resultados diferentes.
Resposta
O limite não existe.