Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
integral2^e^pi cos (ln (x)) d x

Passo 1

Queremos calcular a integral integral2^e^pi cosl(ln(x)r),dx. O conteúdo envolvido é integração por partes, mas antes faremos a substituição t=ln(x) para transformar cos(ln(x)) em uma combinação de e^t e cos t.

Passo 2

Com a substituição t=ln(x) temos x=e^t e dx=e^t,dt. Quando x=2, t=ln2; quando x=e^pi, t=pi. Logo
$$\n\int_{2}{e{\pi}} \cos\bigl(\ln(x)\bigr),dx
= \int_{\ln2}^{\pi} e^t\cos t,dt.$$

Passo 3

Agora precisamos achar a integral indefinida integral e^tcos t,dt por partes. Seja u=e^t e dv=cos t,dt. Então
u=e^t, du=e^t,dt, dv=cos t,dt, v=sin t

Passo 4

Aplicando integração por partes:
integral e^tcos t,dt = e^tsin t - integral e^tsin t,dt

Passo 5

Para integral e^tsin t,dt fazemos nova parte: seja u=e^t, dv=sin t,dt, então
u=e^t, du=e^t,dt, dv=sin t,dt, v=-cos t

Passo 6

Logo
integral e^tsin t,dt = -e^tcos t + integral e^tcos t,dt

Passo 7

Substituindo de volta na primeira relação e isolando integral e^tcos t,dt, obtemos
2integral e^tcos t,dt = e^t(sin t + cos t)Rightarrow integral e^tcos t,dt = tfrace^t2l(sin t + cos tr) + C

Passo 8

Voltando a x, uma primitiva de cos(ln x) é
F(x)=x2l(sin(ln x)+cos(ln x)r)

Passo 9

Agora avaliamos de 2 a e^pi:
$$\n\int_{2}{e{\pi}} \cos(\ln x),dx = \left[\frac{x}{2}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))\right]_{2}{e{\pi}}.
$$

Passo 10

No limite superior x=e^pi temos sinpi=0, cospi=-1, então
$$F(e\pi)=\frac{e\pi}{2}(0+(-1))=-\frac{e^\pi}{2}.
$$

Passo 11

No limite inferior x=2 temos
$$F(2)=\frac{2}{2}\bigl(\sin(\ln2)+\cos(\ln2)\bigr)=\sin(\ln2)+\cos(\ln2).
$$

Passo 12

Subtraindo os valores:
integral2^e^pi cos(ln x),dx = -e^pi2 - l(sin(ln2)+cos(ln2)r)

Resposta

-\frac{e^{\pi}}{2} - \bigl(\sin(\ln2)+\cos(\ln2)\bigr)

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