Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
Passo 1
Queremos calcular a integral
. O conteúdo envolvido é integração por partes, mas antes faremos a substituição
para transformar
em uma combinação de
e
.
Passo 2
Com a substituição
temos
e
. Quando
,
; quando
,
. Logo
$$\n\int_{2}{e{\pi}} \cos\bigl(\ln(x)\bigr),dx
= \int_{\ln2}^{\pi} e^t\cos t,dt.$$
Passo 3
Agora precisamos achar a integral indefinida
por partes. Seja
e
. Então
Passo 4
Aplicando integração por partes:
Passo 5
Para
fazemos nova parte: seja
,
, então
Passo 6
Logo
Passo 7
Substituindo de volta na primeira relação e isolando
, obtemos
Passo 8
Voltando a
, uma primitiva de
é
Passo 9
Agora avaliamos de 2 a
:
$$\n\int_{2}{e{\pi}} \cos(\ln x),dx = \left[\frac{x}{2}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))\right]_{2}{e{\pi}}.
$$
Passo 10
No limite superior
temos
,
, então
$$F(e\pi)=\frac{e\pi}{2}(0+(-1))=-\frac{e^\pi}{2}.
$$
Passo 11
No limite inferior
temos
$$F(2)=\frac{2}{2}\bigl(\sin(\ln2)+\cos(\ln2)\bigr)=\sin(\ln2)+\cos(\ln2).
$$
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
-\frac{e^{\pi}}{2} - \bigl(\sin(\ln2)+\cos(\ln2)\bigr)