Encontre as parametrizaçōes das curvas de interseção das superficies abaixo:
Superficies
e
.
Superficies
Passo 1
O enunciado pede a interseção entre a superfície cilindro elíptica
e o plano
. O conteúdo envolvido é parametrização de curvas, em particular elipses resultantes de seções cônicas.
Passo 2
Observando que
é uma elipse no plano
e que
fixa a altura, concluímos que a interseção é uma elipse paralela ao plano
, no nível
.
Passo 3
Para parametrizar uma elipse de equação
, usamos
,
com
. Aqui podemos reescrever
como
, identificando
e
.
Passo 4
Substituindo em
,
e mantendo
, obtemos a parametrização completa da curva de interseção.
Resposta
$$\n\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos(t),,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\sin(t),,4\bigr),\quad 0\le t<2\pi.
$$