Encontre as parametrizaçōes das curvas de interseção das superficies abaixo:
Superficies x^2+3 y^2=1 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre a superfície cilindro elíptica x^2+3y^2=1 e o plano z=4. O conteúdo envolvido é parametrização de curvas, em particular elipses resultantes de seções cônicas.

Passo 2

Observando que x^2+3y^2=1 é uma elipse no plano xy e que z=4 fixa a altura, concluímos que a interseção é uma elipse paralela ao plano xy, no nível z=4.

Passo 3

Para parametrizar uma elipse de equação x^2a^2+y^2b^2=1, usamos x=acos(t), y=bsin(t) com tin[0,2pi). Aqui podemos reescrever x^2+3y^2=1 como x^21^2+y^2(1/raiz3)^2=1, identificando a=1 e b=1/raiz3.

Passo 4

Substituindo em x=acos(t), y=bsin(t) e mantendo z=4, obtemos a parametrização completa da curva de interseção.

Resposta

$$\n\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos(t),,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\sin(t),,4\bigr),\quad 0\le t<2\pi.
$$

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