(3.0) Considere a regiăo R entre o gráfico de y=x^2 e as suas retas tangentes que passam pelo ponto (0,-4). Calcule o volume do sólido de revoluçăo obtido girando-se a regiāo R em torno da reta x=4, e depois em torno de y=4.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado ao girar a região R, que é limitada pela parábola y=x² e suas retas tangentes que passam por (0,−4), primeiro em torno da reta x=4 e depois em torno de y=4. Para isso vamos precisar: cálculo de derivada para encontrar as tangentes, descrição da região em termos de funções inferiores e superiores, e os métodos de cascas cilíndricas (para eixo vertical) e de anéis (para eixo horizontal).

Passo 2

Derivada e tangentes: para y=x² temos f′(a)=2a, e a reta tangente em (a,a²) é y=2a(x−a)+a²=2ax−a². Exigindo que essa reta passe por (0,−4) dá −a²=−4 ⇒ a=±2. Logo as duas retas são:
y=4x-4
y=-4x-4

Passo 3

Interseção das tangentes com a parábola ocorre em x=±2, y=4. A região R então, para x∈[−2,2], tem:
para x∈[−2,0]: yinf(x)=-4x-4 e ysup(x)=x^2,
para x∈[0,2]: yinf(x)=4x-4 e ysup(x)=x^2.

Passo 4

Rotação em torno de x=4 (eixo vertical) via cascas cilíndricas: cada casca em x tem raio r(x)=4-x e altura h(x)=x^2-yinf(x). Portanto
Vx=4=2piintegral-2^2(4-x)l(x^2-yinf(x)r),dx

Passo 5

Separando em dois intervalos calcula-se
I1=integral-2^0(4-x)(x^2+4x+4),dx=12,
I2=integral0^2(4-x)(x^2-4x+4),dx=tfrac283

Passo 6

Logo
Vx=4=2pil(12+tfrac283r)=128pi3

Passo 7

Rotação em torno de y=4 (eixo horizontal) via anéis: para cada x a distância ao eixo dá raio externo R(x)=4-yinf(x) e interno r(x)=4-x^2. Como a função é par em x, usamos simetria e integramos de 0 a 2:
Vy=4=2piintegral0^2l[(4-(4x-4))^2-(4-x^2)^2r],dx

Passo 8

Expandindo e integrando obtemos
integral0^2l((8-4x)^2-(4-x^2)^2r)dx=1285,

Passo 9

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Vy=4=2picdot1285=256pi5

Resposta

Para a rotação em torno de x=4: V=tfrac128pi3. Para a rotação em torno de y=4: V=tfrac256pi5.

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