(3.0) Considere a regiăo
entre o gráfico de
as suas retas tangentes que passam pelo ponto
. Calcule o volume do sólido de revoluçăo obtido girando-se a regiāo
em torno da reta
, e depois em torno de
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido gerado ao girar a região R, que é limitada pela parábola y=x² e suas retas tangentes que passam por (0,−4), primeiro em torno da reta x=4 e depois em torno de y=4. Para isso vamos precisar: cálculo de derivada para encontrar as tangentes, descrição da região em termos de funções inferiores e superiores, e os métodos de cascas cilíndricas (para eixo vertical) e de anéis (para eixo horizontal).
Passo 2
Derivada e tangentes: para y=x² temos f′(a)=2a, e a reta tangente em (a,a²) é y=2a(x−a)+a²=2ax−a². Exigindo que essa reta passe por (0,−4) dá −a²=−4 ⇒ a=±2. Logo as duas retas são:
Passo 3
Interseção das tangentes com a parábola ocorre em x=±2, y=4. A região R então, para x∈[−2,2], tem:
para x∈[−2,0]: e
,
para x∈[0,2]: e
.
para x∈[−2,0]:
para x∈[0,2]:
Passo 4
Rotação em torno de x=4 (eixo vertical) via cascas cilíndricas: cada casca em x tem raio
e altura
. Portanto
Passo 5
Separando em dois intervalos calcula-se
Passo 6
Logo
Passo 7
Rotação em torno de y=4 (eixo horizontal) via anéis: para cada x a distância ao eixo dá raio externo
e interno
. Como a função é par em x, usamos simetria e integramos de 0 a 2:
Passo 8
Expandindo e integrando obtemos
Passo 9
logo
Resposta
Para a rotação em torno de x=4:
. Para a rotação em torno de y=4:
.