Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: integral2^4 x ln (raizx) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral integral2^4 x ln(raizx),dx usando o método de integração por partes. O conteúdo é técnicas de integração, especialmente a fórmula
integral u,dv = u v - integral v,du
e vamos precisar reconhecer e simplificar o integrando antes de aplicar essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, observe que
ln(raizx) = tfrac12ln x
Logo a integral vira
integral2^4 x ln(raizx),dx = tfrac12 integral2^4 x ln x,dx

Passo 3

Para calcular integral xln x,dx, escolhemos em integração por partes:
u = ln x, dv = x,dx,
dai
du = tfrac1x,dx, v = tfracx^22
Pela fórmula,
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22 cdot 1x ,dx = x^22ln x - 12integral x,dx
Integrando,
integral x,dx = x^22,
então
integral xln x,dx = x^22ln x - 12 cdot x^22 + C = x^22ln x - x^24 + C

Passo 4

Voltando à integral original, temos
integral2^4 xln(raizx),dx = tfrac12 l[x^22ln x - x^24r]2^4 = l[x^24ln x - x^28r]2^4

Passo 5

Agora avaliamos nos limites:
Para x=4:
4^24ln4 - 4^28 = 4ln4 - 2
Para x=2:
2^24ln2 - 2^28 = ln2 - tfrac12
Subtraindo (valor em 4 menos valor em 2):
(4ln4 - 2) - (ln2 - tfrac12) = 4ln4 - 2 - ln2 + tfrac12
Como ln4 = 2ln2, temos
4ln4 = 8ln2,
então
8ln2 - ln2 - tfrac32 = 7ln2 - tfrac32

Resposta

7ln2 - tfrac32

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